378 ALÉMOIRES DE L'ACADÈMIE 
Les fonctions de n° pair Y", Yi, Y", etc. ne sont autrê 
chose que celles dont j'ai détaillé les propriétés dans le vo- 
lume de 1784 ; celles de n° impair ont des propriétés analo- 
gues, que nous démontrerons à mesure que nous en aurons 
besoin. En général, ces fonctions jouent un très grand rôle 
dans la matière dont nous nous occupons. 
Cela posé, si on met au lieu de y, sa valeur cos. © cos. Ÿÿ 
+ sin. © sin: Ÿ cos 0 , et qu'on intègre les quantités 40, 
Y' 40, Y' d0, etc. depuis 0 = o jusqu'à 0 — 360°— 2%, 
on trouvera 
fa —= 27 
SY'd0 = 2x cos. © cos, ÿ 
SY" d9 — 2x (= cos. *o — :) (4 cos. Ÿ — :) 
SY'!"d0 = 2x (cos. ù — <cos. ©) (cos. — < cos. ÿ) 
etc. 
Soit cos. © — p, ces. Ÿ — x, si nous désisnons par P= 
(mm étant un indice et non un exposant ) la même fonction 
de p que Y® est de y, et par X" une semblable fonction 
de x, on aura eu général 
JY® dû = 2x Pr X». 
Ce résultat est facile à vérifier dans les premiers termes ; 
pour s'assurer qu'il a lieu en général, nous renvoyons à la 
démonstration que nous en avons donnée dans le tom. X 
des savans étrangers, pag. 429 et suiv. On trouvera aussi 
dans le présent mémoire, n°..... la démonstration d'une 
proposition générale, dont celle-ci n'est qu'un cas parti- 
culier. 
(5) L'intégration, par rapport à 0 étant ainsi effectuée, 
il en reste deux autres à faire pour évaluer la quantité 
Von ded\sin. ÿ.(+<P'X'+5P"X"-+etc.) 
