400 MÉMOIRES DE L'AÂCADÉMIE 
cas à l'autre, qui peut se faire par les degrés les plus insen- 
sibles, Sutra tout d'un coup la multiplicité des solu- 
tons. M voici un raisonnement qui prouve, de la manière 
la plus satisfaisante, que le coëflicient P est zéro , et qu'il 
n'existe qu'une seule figure d'équilibre. 
(22). Considérons l'e xpression générale de la quantité Q, 
et voyons à quoi cette expression doit se réduire vers le centre 
du sphéroïde , lorsque 6 est infiniment petit. Quelle que soit 
la loi des densités, comme nous les supposons croissantes de 
la surface au centre, on doit avoir, lorsque 6 est infiniment 
petit, A =f6— m, m étant positif où Zéro. 
Si mn'est pas zéro, la densité sera infinie au centre; mais 
l'hypothèse n'en est pas moins admissible, pourvu que la 
masse, sous un volume fini, soit une quantité finie : or la 
masse est proportionnelle à la quantité o= /'A6°d6 , et en 
e3—m 
füsant A 0». one — =" , donc pourvu que »z 
soit plus petit que 3, il n'y a aucun inconvénient à sup- 
poser A = /6 —". 
CdA _—m(3—m) 
En vertu de cette formule, on aura = "ET. donc 
r équation (c') du n° précédent deviendra 
44Q 
Q 
OR ms + m(3—m)S—0: 
or on satisfait généralement à cette équation, en prenant 
Q = a" 6 + b'Gi—e; 
a’ et b' étant deux constantes arbitraires , etle nombre positif 
e ayant pour valeur 
e— i+y $S(k+H I) —m(5—m)}. 
On voit donc que si l'intégrale complète de l'équation (c') est 
en général Q = 4 Q 1 + b'OQo, les quantités s QretQa 
doiveut se réduire à 6° et 6! ar lors: qu'on fait 6 infiniment 
petit. Mais il est clair que si b'n'étoit pas zéro, la valeur 
dcQ, 
à 
.— 
