Gl'NltlIAL PAIl.ME.MIi;». LES CAItltl-S MAGK.tUE.S IV/ 



La qiR'slion, indéterminée comme toutes celles <lo môme nature, conduit à 

 la formation dime fonction géométrique, et s'applique à l'espace aussi bien 

 qu'au plan. 



Sur deux gciire.'i remarquables de courbes planes. — Recherche d'une courbe 

 qui soit à elle-même sa 4'' dévelop|»ée. (>n trouve deux solutions, dont on 

 obtient les équations sous lorme dilVérentielle d'abord, et ensuite sous l'orme 

 finie. 



Les courbes obtenues peuvent être engendrées comme il suit, [^no spirale 



logarithmique (S,) coupant ses rayons vecteurs sous un angle y, et rencontrant 



l'axe polaire à une distance c du pôle 0, on construit un triangle isoscèlo sur 

 S^O comme hauteur avec Sj pour sommet, de telle sorte que l'aire de ce triangle 

 soit constante et égale à c'-. Les milieux des côlés de ce triangle décrivent les 

 courbes cherchées. 

 La spirale S,, elle-même, constitue une solution particulière du problème. 



— S$é«iiee dn î) août fiSîX) — 

 M. A. MATROT, liig. en chef des Mines, à Paris. 



Sur la décomposition des nombres en quatre carres et sur les résidus quadra- 

 tiques. — La première partie de cette communication donne une méthode 

 très simple et très rapide pour démontrer (|ue tout nombre premier divisi- la 

 somme a^ -\- b'~ -\- l ; on en déduit une démonstration élémentaire du théorèmu 

 de Fermât, que tout entier est décomposablc en quatre carrés entiers au plus. 

 La seconde partie renferme de nouveaux aper(;us sur les résidus quadratiques 

 et notamment une représentai ion griiplu(|uc de la loi de réciprocité el une 

 démonstration nouvelle du théorème relatif an caractère quailratique di' ±. 



M. Edouard LUCAS, Pnf. au Lyo'-e Saint-Louis, à Paris. 



Xouvelle démonstration de la loi de réciprocité. — Cette communication a pour 

 but d'exposer une nouvelle démonstration du théorème de Legendre, connu 

 sous le nom de Loi de réciprocité des résitlus (|uadratiques. Le principe de 

 cette démonstration repose sur la théorie des lois arithmétiques de la géométrie 

 du Tissage. M. Tchebychef a présenté cette nouvelle méthode à l'Académie des 

 Sciences de Saint-Pétersbourg, dans la séance du 22 mai 1890. En généralisant 

 son principe, on arrive encore à une démonstration très simple et directe du 

 théorème généralisé par Jacobi, et l'on en déduit, comme cas particuUer. le 

 théorème de Legendre. 



M. le général PARMENTIER, à Paris. 



Sur les carrés magiques. — Le présent mémoire se compose de trois chapitres. 

 Le premier chapitre renferme une nouvelle méthode, pour tracer les carrés 

 magit|ue6 impairs, qui se rapproche de la méthode indienne. — Le deuxième 

 chapitre indique la manière de faire des carrés magiques avec des nombres 



