KD. I.llC.VS, — LE CRITERIIM DE PAOI.I 149 



M. G. DE JLONGCHAMPS. l'iof. :iu Lycte Sainl-I.ouis. Taris. 



înlérjralion de rvquntiitu de lirassinr an moyen des fondions liyper-Bcrnoullinines. 

 — F.(s l'ouctions liypiM'-Hernoullicnnes considénx'S ici proviennent de l'umplui 

 do l'algoritlinic. 



A, A , + A„ A ., 4- . . . + A , A, = (A) . 



I n I I 2 n— 2 I ' ri I I "■ 'd 



(lui csl, sui\anl ri'xpressioii que ]V)u> hnoiis proposée (*), Visobarre de la suite 

 A„A.,, ...A,, 



En employant la relation de récurrence A^^ 9 (n) = (A)^, dans liiqucllc 9 («s 

 n-présente la clef, on détermine la suite indéfinie Aj, A^, ... et les fonctions 

 A ,x -f-Agac"-]- ...et d'autres analogues, dites fonctions adjointes. 



Les fonctions à clefs du second degré permettent, sauf un cas exceptionnel, 

 d'intégrer complètement les équations difTéientioll(^s de la forme: 



d-ji , B dy y ■> ui ao . , 2p-? 



•■^ 7"^ + X ^ + ^' "^ ~ 'y = -s + -2 + «'i, - • • • + V • 



dx -^ ""^ a- XX ' 



Celte équation apparlienl au genre qu'on appelle équations de Brassine. 



Feu le Général DE COMMINES DE MARSILLY. 



Sur un paradoxe de géométrie analytique. — Les équations de deux droites 

 parallèles montrent qu'elles sont partout é(iuidistantes et ne se coupent pas. Si, 

 contrairement à ce lait, on est arrivé à conclure que les parallèles se coupent 

 à l'infiai, c'est que, par suite d'une pétition de principes, on leur a appliijué 

 les résultats obtenus pour une limite des lignes concourantes, laquelle est idéale 

 et n'existe pas. 



Sur une exposition de la géométrie euclidienne. — Dans deux Mémoires présentés 

 aux Congrès de 1888 et de 1880, M. de Mausilly a discuté les objections adressées 

 aux expositions connues de la géométrie élémentaire ; il a reconnu que l'ordre 

 n'en n'était pas logique; mais il a maintenu la possibilité de démontrer le 

 postulatum d'Euclide en faisant intervenir les notions primitives que nous 

 avons sur le m(»uvement. Le travail actuel est le développement de ces 

 thèses, lloùel avait déjà signalé la nécessité d'introduire dans les axiomes de 

 géométrie quelques notions relatives au mouvement; l'auteur va plus avant que 

 lui dans cette voie et en tire des conclusions inattendues. 



M. Ed. LUCAS. 



Sur le critérium de Paoli. — Cette communication a pour but de donner 

 une manière de reconnaître le nombre des solutions positives de l'i'quation 

 indéterminée ax -\- hy = c. ()n la trouveia. avec détails, dans le tonif 11 de la 

 Théorie des: nombres. 



(•) Consultez les Mémoires couronnés el Mémoires des savants éirnngers, publics par r.\cadémie 

 d« Belgique; t. LU, 1889. 



