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GÉOMÉTRIE. — Rapport sur un Mémoire de M. Halphou concernant les points 

 singuliers des courbes algébriques planes. 



(Commissaires : I\IM. Bertrand, Bonnet, de la Gournerie rapporteur.) 



« 1 . La théorie des points singuliers des courbes planes ne date que de 

 Pliicker, sauf toutefois dans les cas actuellement considérés comme élé- 

 mentaires. Elle présente encore des lacunes importantes, bien que les tra- 

 vaux de iM. Cayley et de plusieiu-s autres géomètres l'aient considérablement 

 étendue. Avant de parler du Mémoire de M. Halphen, nous rappellerons 

 quelques-uns des résultats qui ont été obtenus. 



» M. Cayley appelle branche une partie de courbe qui, dans le voisinage 

 d'un point multiple pris pour origine, peut être représentée, avec telle 

 approximation que l'on veut, par luie équation dans laquelle une des coor- 

 données n'entre qu'à la première puissance. La branche est dite linéaire 

 ou superlinéaire suivant que les exposants de la seconde coordonnée sont 

 tous entiers, ou que quelques-uns d'entre eux sont des nombres fraction- 

 naires. Dans ce dernier cas, l'origine a une multiplicité égale au plus petit 

 commun dénominateur des exposants, et, pour la solution de diverses 

 questions, on peut considérer la branche comme composée de branches 

 partielles qui se rencontrent au point luultiple. 



)) Une branche superlinéaire peut toujours être obtenue par la projection 

 d'une courbe gauche n'ayant que des points simples. 



» 2. La proposition fondamentale établie par M.Halphen consiste en ce 

 que, siparunpoint^a, b) infiniment voisin d'une courbe algébriqueF[x, y) = o 

 on mène une sécante de direction quelconque, la somme des ordres des segments 

 infiniment petits compris entre le point {a, b) et la courbe est égale à l'ordre de 

 F{a,b). 



« Ce lemme résulte immédiatement du théorème relatif aux segments 

 interceptés sur une courbe algébrique par deux droites parallèles, lors 

 toutefois que la sécante considérée n'est parallèle à aucune asym|)tole. 

 M. Halphen montre que celte restriction n'est pas nécessaire, parce que, 

 en introduisant dans l'équation des termes d'un ordre suffisamment élevé, 

 on peut modifier la direction des branches infinies, en n'apportant à la 

 partie de la courbe voisine de l'origine que des modifications qui doivent 

 être négligées dans la question. 



» L'auteur déduit immédiatement de ce lemme des conséquences impor- 

 tantes sur le nombre des points communs soit à une courbe el à une de ses 



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