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 tangentes en un point multiple, soit à deux courbes dont deux points mul- 

 tiples coïncident. 



» 3. Après avoir établi ces résultats, M. Halphen considère les branches 

 superlinéaires, et, supposant l'origine placée au point singulier, il montre 

 que, si l'on attribue à l'une des coordonnées une valeur infiniment petite, 

 les diverses grandeurs infiniment petites, dont l'autre coordonnée est sus- 

 ceptible, forment un groupe du genre de ceux que notre confrère M. Pui- 

 seux a nommés circulaires. 



» Par suite de cette circonstance, l'auteur appelle groupes circulaires les 

 branches superlinéaires, en conservant d'ailleurs l'expression de branches 

 partielles. Nous emploierons naturellement ce langage, mais celui de 

 M. Cayley nous paraît préférable, eu égard à la nature foute géométrique 

 de la question. 



» 4. Les deux premiers articles du Mémoire de M. Halphen sont con- 

 sacrés aux théories que nous venons d'indiquer rapidement. L'article HI 

 contient une élude très-intéressante des branches partielles qui composent 

 un groupe circulaire. 



» Un tel groupe est un élément géométrique indécomposable, et si on 

 le divise idéalement en branches partielles, on peut se trouver conduit à 

 des conclusions en apparence paradoxales. Ainsi la tangente d'un groupe 

 circulaire possède nécessairement sur la courbe un nombre entier de points 

 réunis au point singulier; mais, en général, ce nombre n'est pas divisible 

 par celui des branches partielles, et, par suite, on doit attribuer à chacune 

 d'elles iHî nombre fractionnaire de points sur la tangente. 



» Ce résultat est analogue à celui que l'on obtient dans quelques re- 

 cherches statistiques, où les moyennes présentent des fractions de certaines 

 unités qui, de leur natm-e, sont indécomposables. 



» Dans un rebroussement ordinaire de première espèce, la tangente ren- 

 contre la courbe en trois points qui se confondent. M. Cayley, considérant 

 les deux branches partielles séparément, regarde chacune d'elles comme 

 possédant un point et demi sur la tangente. D'après M. Halphen, on de- 

 vrait compter deux points à l'une des branches et un seul à l'autre. 

 La différence purement idéale résulterait du mode de déplacement par 

 lequel on conçoit que la droite, d'abord supposée sécante, est devenue 

 tangente; mais, dans l'étude des relations des branches d'un rebroussement 

 avec leur tangente, il n'y a aucun motif pour considérer le contact comme 

 ayant été obtenu par un mode particulier de déplacement d'une droite. 



» Du reste, il n'y a dans tout cela qu'une question de langage, car 



