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 M. Halplieii s'attache à justifier les procédés do calcul que M. Cayley a 

 employés. 



)) 5. L'article IV présente une véritable importance. M. Cayley avait déjà 

 établi qu'un groupe circulaire a pour corrélatif uti autre groupe circulaire. 

 M. Halphen obtient de nouveau ce résultat, et de l'équation du deuxième 

 groupe il déduit des conséquences très-utiles sur la somme des ordres de 

 contact de la tangente qui, dans la courbe corrélative, correspond à un 

 point multiple, sur le nombre des inflexions absorbées par un point sin- 

 gidier, etc. Nous citerons le théorème suivant, qui, pour être établi d'une 

 manière générale et en toute rigueur, exigeait le développement complet 

 de la formule du groupe corrélatif d'un groupe circulaire donné : 



» Lu somme des ordres des coiitacts de deux courbes en un point est égale à 

 la même somme pour les courbes corrélatives aux points correspondants. 



)) Les notions que M. Halphen emploie le plus sont l'abaissement de classe 

 dû au groupe circulaire, et le nombre des inflexions effectives qui y sont 

 contenues. La première de ces quantités correspond au binôme (at? -.- 'i^c) 

 de Plûcker; la seconde est indiquée par le nombre de points que la déve- 

 loppée possède sur la droite de l'infini, au point correspondant. 



M L'auteur emploie dans l'article IV la méthode du déplacement infini- 

 ment petit de la courbe dans son plan. A l'article suivant, il retrouve les 

 mêmes propositions à l'aide des équations de la polaire et de la hessienne, 

 en ne conservant que les termes qui caractérisent la nature de la partie 

 infiniment rapprochée de l'origine. 



» 6. L'article VI est consacré à l'élude des développées. L'auteur se pose 

 les questions suivantes : Quels sont les abaissements de degré et de classe 

 qu'un point singulier produit dans la développée d'une courbe ? Quelle est 

 la nature des points d'une développée qui correspondent à un point sin- 

 gulier ? 



» M. Halphen établit la condition nécessaire pour que le centre de cour- 

 bure de la courbe, en un point, soit sur une droite donnée, et obtient ainsi 

 l'équation d'une nouvelle courbe dont les intersections avec la proposée 

 correspondent au point où la développée de cette dernière rencontre la 

 droite. 



» La discussion des intersections des deux courbes, pour des positions 

 déterminées de la droite, permet de résoudre les questions relatives au 

 degré de la dévelopjjée. Une solution analogue est ensuite_donnéc pour les 

 questions qui concernent la classe. 



» M. Halphen obtient d'abord ce théorème important, que tout point sin- 



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