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f/ulier à dislance finie produit dans la classe de la développée le même abaisse- 

 ment que dans celle de la courbe. 



n Ensuite il établit qu'un point singulier affecte le degré de la développée 

 d'après des lois différentes, selon qu'aucune des tangentes ne passe par les 

 points circulaires à l'infini, ou que cette condition n'est pas remplie. Les 

 deux théorèmes les plus importants sont les suivants : 



» Un point singulier à distance finie produit dans le degré de la développée un 

 abaissement égal cm nombre des points d'injlexion cjuil absorbe, diminué du 

 nombre des inflexions effectives contenues en ce point dans les branches de la 

 courbe dont les tangentes ne sont pas isotropes. 



n Quand à un point singulier toutes les tangentes sont isotropes, le point est de 

 la même nature sur la courbe et sur sa développée , c'est-a-dire que dans les 

 deux courbes les branches partielles sont en nombre égal, et que leurs 

 contacts avec les tangentes sont des mêmes ordres. 



» L'influence que les points singuliers à l'infini ont sur l'ordre et la 

 classe de la dévelop|)ée est ensuite étudiée dans les différents cas qui 

 peuvent se présenter, et notamment lorsqu'ils se confondent avec les 

 points circulaires de Poncelet. 



» 7. Dans l'article VII, après une courte étude des développantes, 

 M. Halphen s'occupe des développées successives d'une même courbe. 

 Cette partie de son travail en est peut-être la plus originale. 



n Les singularités d'une développée correspondent les unes à des points 

 simples, les autres à des points singuliers de la courbe primitive. L'auteur 

 montre que les premières disparaissent nécessairement dans la série des 

 développées, et que les dernières conduisent à un régime régulièrement 

 progressif de points à l'infini. Il parvient en dernier lieu à ce théorème : 



» ^ partir d'un certain rang , les degr'és et les classes des développées suc- 

 cessives d'une courbe algébrique quelconque forment deux progressions arithmé- 

 tiques de même raison. 



» Cette proposition ne souffre aucune exception; mais il y a des cas, 

 tels que celui des épicycloïdes algébriques, dans lesquels la raison des 

 progressions est nulle. 



» 8. La méthode employée par M. Halphen dans son Mémoire con- 

 siste à développer l'équation de la courbe ou ses dérivées (polaire, hes- 

 sienne, etc.) en conservant seulement les termes qui peuvent avoir de l'in- 

 fluence sur la question étudiée. Le théorème sur la somme des ordres des 

 segments (n" 2) donne alors, dans bien des cas, une solution immé- 

 diate. 



