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» Soiis le rapport analytique, les principales difficultés que l'auteur a 

 dû résoudre consistent à reconnaître les ordres de grandeur des différents 

 termes d'un développement dans les diverses hypothèses qui peuvent être 

 faites, à classer méthodiquement les résultats et à les exprimer par des 

 formtdes spéciales. 



» M. Halphen a montré dans ce travail beaucoup de sagacité, et il a obtenu 

 des résultats nouveaux dont nous n'avons indiqué que les plus importants. 

 Il a eu le soin d'appuyer sa marche par de nombreuses vérifications, tantôt 

 en obtenant les mêmes propositions [)ar des procédés différents, tantôt en 

 déduisant de ses formules générales divers théorèmes connus. 



» En résumé, nous croyons que M. Halphen a notablement éclairci une 

 question importante et difficile, et nous vous proposons d'ordonner l'in- 

 sertion de sou iMéinoire au Recueil des Savants étrangers. » 



Les conclusions de ce Rapport sont adoptées. 



MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE. — Mémoire sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux déri- 

 vées partielles contenant un nombre quelconque de fonctions et de variables 

 indépendantes i par ]M. G. Dauboux. 



(Renvoi à la Section de Géométrie. ) 



« On sait que Cauchy a, le premier, montré dans un Mémoire, publié 

 en i835, et qui a été réimprimé plus tard dans les Exercices d'Analyse et de 

 Physique mathématique, que tout système d'équations aux dérivées ordi- 

 naires admet des intégrales satisfaisant à des conditions initiales détermi- 

 nées. Plus tard, MM. Briot et Bouquet ont proposé une nouvelle démon- 

 stration de cet important théorème, et ils ont, dans plusieurs beaux 

 Mémoires, étendu beaucoup les conséquences et les applications des prin- 

 cipes qu'ils avaient proposés. Je me propose de montrer ici qu'avec des 

 modifications convenables leur méthode est encore applicable aux équa- 

 tions les plus générales aux dérivées partielles, et qu'elle peut ainsi donner 

 la première démonstration rigoureuse de l'existence de l'intégrale dans de 

 telles équations. Une démonstration de ce genre me paraissait très-dési- 

 rable; car, eu dehors du théorème fondamental qu'elle permet d'établir, 

 l'étude des cas d'exception qu'elle présente ne peut manquer de conduire 

 à des conséquences importantes. C'est ainsi que, comme je le montrerai 



