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dans un autre travail, on peut obtenir une définition précise des courbes 

 que Mongc a appelées les caractéristiques. 



» Dans le cas où Ion a une seule équation aux dérivées partielles du 

 premier ordre, on peut donner plusieurs démonstrations différentes de 

 l'existence de l'intégrale; j'expose ici seulement celle qui peut s'étendre au 

 cas le plus général. J'admettrai de plus que l'équation aux dérivées par- 

 tielles ait été débarrassée de la fonction inconnue par la substitution, ici 

 légitime, de Jacobi ou au moyen de l'artifice qu'a indiqué M. Bertrand. 



« Étant donnée l'équation aux dérivées partielles 



nous allons démontrer qu'elle admet, sous certaines conditions, une inté- 

 grale développable en série convergente et qui se réduit, pour t = o,a une 

 fonction connue / (çn- •• i 7n) tles variables <jf,, q^,..., q,„ qui est finie et 

 continue dans le voisinage des valeurs q\, q\,.. . , qf^. Si nous remplaçons 

 qi par qf -\- ç,, la fonction ^ sera supposée finie et continue quand les mo- 

 dules des nouvelles variables ^, ne dépasseront pas une certaine limite, et 

 par conséquent elle sera développable en une série ordonnée suivant les 

 puissances de ces variables. 



)) Soient pf la dérivée de/ par rapport à la variable 7,-,/o 1^ valeur de y 

 pour des valeurs nulles attribuées aux variables qi. Substituons à V, dans 

 l'équation différentielle, la fonction V définie par la formule 



qui donne 



nous aurons pour V l'équation différentielle 



(2) Yt = ^[p^^P2y-,p,nq^,q'.-,--'q,n f), 



où l'on a effacé les accents après la substitution, et la nouvelle fonction V, 

 pour t — o, devra se réduire à une fonction 



? = -y» + /^î 7. ■ • ■ -t- p° 7« +y. 



dont la valeiu- et les dérivées premières sont nulles pour des valeurs zéro 

 des variables y,. 



» Cela posé, supposons que la fonction <I> soit finie et continue pour 

 toutes les valeurs des variables qui y entrent, dont le module ne déjKisse 



