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iiiie fois par rapport k t ot un nombre qnelconqne de fois par rapport aux 

 variables </,, et ainsi de suite. Il est clair que chacun des coefficients de la 

 série se présentera comme une fonction des dérivées partielles de M' et de^, 

 si l'on a soin de substituer dans son expression les coefficients déjà cal- 

 culés. Toute la difficulté de la question se réduit à prouver que la série 

 formée avec ces coefficients est convergente. 



» Or il est clair qu'on aura lUie limite maximum de tous ces coefficients 



si l'on substitue aux fonctions W et o des fonctions dont les dérivées soient 



toutes positives et supérieures aux dérivées correspondantes des fonctions V 



et (p. Or de telles fonctions peuvent être trouvées. A W on peut substituer 



M 



M étant le module maximum de *I' on un nombre plus grand, et a, /3, y 

 étant des nombres supérieurs ou égaux à l'unité. De même à © on peut 

 substituer 



m 



(l — <7,)(l — ry,)...(i — 7„) 



(rappelons que m est plus petit que l'unité). 



» Prenons ici a =^ /3 = y = i. Il est facile de démontrer qu'il existe une 

 fonction W satisfaisant à l'équation différentielle 



:)W M 



(4) 



it l 3W\ / 3W\ 





se réduisant pour < — o à , , — y >» et développable en série con- 



^ (i— «70--- (« — -7") "^ 



vergente tant que les variables </,, t na dépassent pas certaines limites. 



» La série qui doit développer V ayant des coefficients plus petits que 

 les termes correspondants de la série qui sert de développement à W, elle 

 sera convergente. La fonction V a, entre certaines limites, une existence 

 bien déterminée, et le théorème que nous nous proposions d'établir se 

 trouve démontré. 



» Je remets à un prochain travail l'élude, très-facile d'ailleurs, de la 

 fonction W. 



» Le Mémoire que je soumets à l'Acndéniie contient, en outre, l'étude 

 des systèmes les |)lus généraux d'équations aux dérivées partielles d'un 

 ordre quelconque. » 



