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et qu'on les ordonne, les équations F.r = o, Jx = o ont p racines com- 

 munes, sans en avoir davantage, lorsque les (h'terminauls formés des coef- 

 ficients dcx'', a'""',..., .r'"', dans ces équations (i), en y joignant tour à 

 tour ceux de x''~', x^'-^ . , jr, x", sont nuls, et que, de plus, le détermi- 

 nant formé des coefficients de x'',..., x'" ' dans m — p des équations (i) 

 n'est pas nul. 



» L'élimination de x''*\.. , x'""' entre ces dernières équations donne 

 l'équation aux racines communes ; de sorte que, si l'on remplace tour à tour 

 dans le déterminant considéré, qui n'est pas nul, la coloiuie des coefficients 

 do x'' par celles des coefficients de x''~\ x'''-,. ., .r, x", on a, avec ce dé- 

 terminant, les coefficients de x'',..., a" dans le plus grand commun divi- 

 seur de Fx et àefx. 



» Au cas de ni > h, les m — /) -H i équations sont à la place du sys- 

 tème (i) 



yx = o, xjx = o...., x"'~"'^'fx = o, 



A X"-" -h ... -1- A™_„ A„_„+, ar"- -H . . . -H A„ 



A.3:"'-P+ ...-+- A„^„ A„,^„+, .rP-' -h . . 



ANALYSE. — Sur la rcclification des ovales de Descnrles. 

 Note de M. A. Genocchi, présentée par M. Chasles. 



(( M. Chasles, dans son Rapport sur les progrès de la Géométrie (*), 

 en rendant compte d'un beau Mémoire de M. Mannheim, a fait men- 

 tion de celte proposition sur les ovales de Descartes, que !« deux arcs, 

 I) compris chacun entre deux rayons issus d'iui foyer, ont leur différence 

 » égale à un arc d'ellipse », théorème démontré antérieurement ])ar 

 M. W. Iloberts. Ces deux éminents géomètres insistaient sur la circonslance, 

 que les arcs des ovales de Descartes dépendent en général de transcen- 

 dantes compliquées, intégrales d'un ordre élevé; et, en effet, cette circon 

 slance paraissait établir une analogie marquée entre leurs théorèmes et le 

 théorème de Fagnano, sur les arcs d'ellipse dont la différence est recli- 

 fiable. Je crois ilonc qu'il y a un certain intérêt à montrer qu'iuie telle ana- 

 logie n'existe pas, puisque tout arc d'une ovale de Descartes se réduit à lu 

 somme de trois arcs d'ellipse. Je vais résumer les transformations qui auu- 



; * ) Page 298. 



