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ci':OMl';Tnii:. — rmpni!l('-s rclaliues à In cniirhiirc de la dducloppée 

 d\inc smjacc (fuch oiupie ; par M. Ualpiien. 



« Sur une surface quelconque, les points peuvent être associés par cou- 

 ple?, m, a, de telle sorte que la droite miJ. lui soit tangente en ces deux 

 points. A l'égard de pareils couples, la développée d'une surface quelconque 

 (lieu des centres de courbure principaux) jouit d'une propriété caractéris- 

 tique, qui consiste, on le sait, dans la perpendicularité de ses plans tan- 

 gents eu m et p.. Cette propriété se traduit analytiquenient par luie relation 

 outre deux points associés, et cette relation contient les dérivées partielles 

 du premier ordre. On eu peut aisément conclure l'existence de deux rela- 

 tions contenant les dérivées du second ordre, de trois relations conte- 

 nant les dérivées du troisième ordre, et ainsi de suite. Ainsi, relativement 

 à la courbure d'une développée, il existe deux relations entre les points 

 associés. Ces relations ont été trouvées par M. JManuheim (*), qui les a 

 déduites de considérations géométriques. J'en donne ici une démonstration 

 analytique, dont le point de départ est dans les considérations précé- 

 dentes. 



» Soient m, p. deux points associés stu" une développée, dont je dési- 

 gnerai par (m) et [p.] les nappes. Soient mz et p.'Ç les normales en m et p. 

 Je plate l'origine des coordonnées en un point O de iiip.. Je désigne cette 

 droite par OB, et je la prends pour axe de coordonnées, ainsi que des pa- 

 ralléjes OA, OC à mz et p.^. Par hypothèse, ces coordonnées sont rectan- 

 gulaires. Les points m et p. sont déterminés par leurs distances b, p au 

 point O. Soient x, j, z les coordonnées d'un point m' par rapport à des 

 axes parallèles menés par m, les coordonnées j, z étant prises suivant w/j. 

 et inz. Les coordonnées de m', par rapport aux axes d'origine O, sont?, 

 j- -+- b, x, suivant OA, OB, OC. 



» Soient, de même, B,, vj, Ç les coordonnées d'un point p.' par rapport 

 à des axes parallèles menés par p.; vj et 'Ç étant prises suivant put et p.i^. 

 Les coordonnées du même point, par rap|)ort aux axes d'origine O, sont 

 ?. ^ + |3, Ç, suivant OA, OB, OC. 



» Je désigne, suivant l'usage, pai- /), </. '', S ^ 't^s dérivées partielles 



■^i-- relatives à la nap])e [m), et par 1rs lettres grecques correspondantes 



(') Conijilc.s niiilits, I. I.XXIX, p. i3?.!S. 



