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 (en oinetlant les coefficienls dont on n'a pas besoin), on sait, d'après un 

 théorème connu (voir Cayley, Pliil. Tiaiis., i858, p. 489, etc.), que 

 chaque terme correspond à une partition. Ainsi, en prenant a— o, i = i, 

 c = 2, ..., on obtient 



o'- 



0^2, 0*1* 



o'3, 0^12, 01' 



0'4> 0^l3, 0°2-, Ol'2, 



la seconde Hgne (la première dérivation) correspond à o + o + o + i, ce 

 qui est la seule partition de 1 en quatre parties; la seconde dérivation 

 correspond ào + o + o-na et o + o+i-f-i, qui sont les partitions 

 de 2 en quatre parties; et, généralement, la a."'"'^ dérivation donne toutes 

 les partitions du nombre x en quatre parties, zéro n'étant pas exclu comme 

 une partie. De même, si nous prenons a = i, Zi = 2, ..., il est évident 

 que la x'""" dérivation de «' donne les partitions de jc en quatre parties, 

 exclusion faite de zéro. Alors, en représentant le nombre de termes que 

 contient la x"""^ dérivation de a'' par 4"", et le nombre de partitions de x 

 en quatre par lies (les nombres employés étant rt,^,c,...) par Q'(rt, b,c^...)jc, 

 nous voyons que 



4- = Q^ (0,1,2,3,. .).T = Q■^{^,9.A^,, ..)(^ + 4)- 



» En outre, d'après un théorème connu, Q"(o, 1,2,3?- ■)-^" = l'(' >2,3, ..n)a-, 

 où P (1,2,3,... ?i) indique le nombre de partitions de x en les n éléments 

 1,2,3,. .,«, de sorte que, généralement, si l'on considère les dérivations 

 de a", 



«^■= Q"(o,i, 2,3,. ..),r = Q«;i, 2,3,4, ...)(.x- + /;) = P(. ,2,3,..., »). 



» De celte manière, au moyen des équations aux différences finies, j'ai 

 calculé les valeurs de 71-' poiu- les valeurs i, 2, 3, 4, 5, 6 de n; ces résul- 

 tats ne sont pas nouveaux : ils avaient été obtenus autrement, par le dé- 

 veloppement de lu fonction génératrice 



par M. Cayley {Phil. Tmiis., i856, p. i32, et i858, p. 52). Cepen- 

 dant les mêmes principes peuvent être appliqués au calcul du nombre 

 de partitions qui sont d'une forme donnée (par exemple, de la forme 



