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très de courbure principaux pour M', ces trois points sont en ligne droite, 

 et j'ai 



« Pour la position initiale de la figure, c'est-à-dire M' coïncidant avec M, 

 je tire de là 



( I ) {\-L)dX= Adr, (L - A) dY = hdi. 



» Je considère maintenant le point M' comme l'origine de nouveaux 

 axes, que, pour abréger, j'appelle axes M', et qui sont les tangentes aux 

 lignes de courbure et la normale à (M) en M'. J'exprime les dérivées par- 

 tielles du second ordre, relatives au point M' et aux axes M, en fonction 

 des mêmes dérivées, relatives au même point et aux axes M'. Je distingue 

 ces dernières par des accents, et je représente par «, |3, y; a', •■ les co- 

 sinus directeurs des axes M' par rapport aux axes M. J'obtiens facilement 



j 7"'R = [af- ■/«")- R' + («'7"- 7'«")-T', 



(2) 7'"S =(av"-7«")(|37"-7r^")R' + ('>''7"-7'«")(PY-7'ri")T', 

 ( 7'"T = (/37" - 7/5")^ R' + (,^'7" - ■/ [^"YT . 



1) Je différentie ces équations, et j'attribue ensuite aux variables les va- 

 leurs initiales. Le résultat de cette opération se réduit à 



(3) d^ = dW, dS = dv: (T' - R'), c/T = dV. 



» J'emploie la première et la troisième de ces équations seulement. 

 Comme R' et T' sont les inverses des rayons de courbure principaux en M', 

 j'ai 



•y" -" 



R' = — 4 ^, T'=- 



A — Z >! t- L — Z 



d'où, pour la position initiale, 



» Soient A, B, C, D les dérivées partielles du troisième ordre; je déduis 

 des équations (3) 



A- W 



OU, à cause des équations (1), 



(4) k\.^dx-V,hA.-di+[K-h)dr,=o, \)W d^c,-CK\rdx+{\.-A.)dj=o. 



» Dans ma précédente Communication, j'ai employé les relations sui- 



3/,.. 



