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 vantes, qui expriment simplement que la droite w^x se déplace en restant 

 tangente aux nappes (m), (a) de la développée 



djc-h {A — h) ((jWë -h T^y;) =o, d£-h{L —A) [sdx -h tdj) — o. 



» Il suffit de les comparer aux équations [l\) pour conclure 



M Ce sont les équations que je nie proposais d'établir. Elles donnent les 

 éléments du troisième ordre de la surface, sans ambiguïté, en fonction des 

 éléments du second ordre des deux nappes de la développée. Récipro- 

 quement, ceux-ci sont déterminés, sans ambiguïté, en fonction des pre- 

 miers, comme on lo voit, en joignant aux équations (5) les deux relations 

 de M. Mannheim, établies dans ma Communication précédente. Ces deux 

 relations peuvent être démontrées de nouveau, au moyen de la deuxième 

 équation (3), dont je n'ai pas fait usage. 



» Remarques. — i° Les expressions de A et D prouvent que le plan. d'une 

 section principale coupe la développée suivant une courbe osculatrice à la 

 développée de celte section (*). 



>) 2° Les expressions de B et C peuvent être mises sous la forme 



oùp, et p;, r, et r^ sont les rayons de courbure principaux de la déve- 

 loppée en fj. et m. 



» 3" La méthode employée dans cette Note est celle du déplacement 

 d'un solide, dont M. Mannheim a tant de fois montré la fécondité, no- 

 tamment dans cet ordre de recherches. 



» 4° I-es courbures des deux branches de la section faite dans une sur- 

 face par un plan tangent dépendent des dérivées du troisième ordre. Dans 

 le cas particulier où ces deux courbures sont nulles à la fois, on trouve 

 les deux équations 



p,p,= _3(L-A)^^, /•,r, = -3(A-L)='^. 

 » Ces équations ont constamment lieu si la surface proposée est du 



(*) Voir, à ce sujet, les Recherches géométriques sur le contact du troisième orarr, par 

 M. Mannheim. 



