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second degré. Dans les autres cas, elles se rapportent aux points en 

 lesquels il existe des surfaces de ce degré ayant avec la proposée un contact 

 du troisième ordre. » 



ANALYSE. — Sur une formule de transformation des fondions elliptiques. 

 Note de M. J. Brioschi, présentée par M. Hermite. 



« Dans ma première Communication sur le même sujet, publiée au 



n° 19 (9 novembre 1874) des Comptes tendus, \q me suis réservé d'exposer 



quelques |iropriétés des équations modulaires relatives à la transformation 



des fonctions elliptiques de la forme 



dx , 



- = an. 



» .le vais considérer premièrement l'équation du sixième degré qu'on 

 obtient pour la transformation du cinquième ordre, équation qui, en po- 

 sant a^ — — -ix dans celle de ma Noie du 9 novembre, prend la forme 



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» Le premier membre de cette équation a une propriété remarquable, 

 parce qu'il ne diffère que d'une quantité constante du covariant sextique 

 d'une certaine forme du quatrième degré. En effet, en considérant la forme 

 biquadratique 



/= (O, I , O, - igj, - gs) (Xo, X.)', 



on a vu que ses invariants sont les invariants go, gsj et ses covariants /?, ô 

 biquadratique et sextique ont la forme 



/i = - \{X\ + \%iX\f + 2g 3 X, X\\ 



(i = x\- fgj x\ x\ - 5g, x\ x\ - -^g^ x\ x\ 



Tê^2 &3 '^l "^'2 Ï^S '"-' 1 + |Î0 2 ^^2 ? 



par conséquent, l'équation (i) peut prendre la forme 



(5(2, i)=:^ô en faisant ^ = %\-'^']g\- 



.) Cela posé, si l'on se rappelle qu'entre une forme biquadratique, ses 

 covariants et ses invariants, a lieu la relation 4 /*' — g2 hf--\- gjj ' r= — 4 5% 

 on aura 



4A»-g.V'-^&3/'=-|i^ 



