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GÉOMÉTRIE. — Théorèmes généraux sur le déplacement (^ une figure plane 



sur son plan; par M, Cuasles. 



« Les questions dont il s'agit embrassent cinq cas généraux relatifs anx 

 deux conditions qui produisent le déplacement d'une figure sur son plan : 



» 1° Deux points de la figure glissent sur deux courbes d'ordre quel- 

 conque; 2° une droite glisse sur une courbe, et un point de cette droite 

 glisse sur une autre courbe; 3° un côté d'un angle glisse sur ime courbe, 

 et un point de son autre côté glisse sur une autre courbe; 4° les deux côtés 

 d'un angle glissent sur deux courbes de classe quelconque; 5° enfin 

 un point a d'une droite glisse sur une courbe, et la droite tourne autour de 

 ce point de manière à être toujours oblique à la courbe, sous un angle con- 

 stant, en ce point a. 



» Dans chaque question il y a à déterminer l'ordre de la courbe décrite 

 par un point quelconque de la figure, et la classe de la courbe enveloppe 

 d'une droite quelconque. 



» Quelques-unes de ces questions ont été traitées et reproduites souvent, 

 mais seulement dans quelques cas très-particuliers relatifs à dcuxdroitcsou 

 à une conique, et l'on ne connaît, je crois, qu'im seul théorème général 

 relatif à deux courbes d'ordre m et w, dû à Steiner : c'est le premier théo- 

 rème que je vais démontrer. 



§ I. — Deox points a, n' glissent sun deux courbes U„,, U,„,. 



» I. Lorsque deux points a, a' d'une droite glissent sur deux courbes 

 Um, Um , cette droite enveloppe une courbe de la classe 4mm,, qui a une tan- 

 gente multiple d'ordre 2 mm, à l'infini. 



IX, m2m. I\J , _ 



, 47/27«,. Donc, etc. 



lU, m,7.m IX 



» La courbe a une tangente multiple d'ordre 2 mm, coïncidant avec la 

 droite A do l'infini, parce que le cercle décrit d'un point a de U,„ situé 

 sin- A est rensemblo do deux droites coïncidant avec A, lesquelles cou- 

 pent U„, en m, points doubles, ce qui donne lieu à 9.m, tangentes aa' de 

 la courbe enveloppe coïncidant avec A; donc amw, à raison des m points 

 deU„, (•). 



(*) C'est ce ihéorème, qui a été donné par Steiner, comme je viens de le dire, dans 

 une Communication à l'Académie de Berlin, en juillet i858. Voir Nom'cllcs .Innnlcs de A//i- 

 thématifjues, t. XVII, i858; p. 44^- 



