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» On roconn.iît niscment que la coihIjo a 2mni, tangentes paral- 

 lèles outre elles, dans une direction quelconque. Il suffit de faire glisser 

 la courbe U,„ dans cette direction, d'une quantité rectiligne égale à aa\ à 

 droite et à gauche. Les mnif points d'intersection de cette courbe, dans 

 chacune de ses deux nouvelles positions, et de U,„^ restée fixe, appartien- 

 nent aux iiiun, tangentes de la courbe enveloppe. 



» On peut conclure de là que la courbe a fiinin, tangentes passant par 

 un point de l'infini : ce qui est une confirmation de la démonstration gé- 

 nérale. 



» II. Un point a" de la droite aa' décrit une courbe de l'ordre iiiiiu,. 



X, otni 2 mm, 2 u 

 u, 2 m, 2 m, 111.2 X 



8 mm, . 



C'est-à-dire : D'un point x crime droite L on décrit un cercle de rayon =: fi"it, qui 

 coupe Um en 2«j points a; les 2ra droites .ra coupent U„,^ en 2 /uni, points «', d'où l'on dé- 

 crit des cercles de rayon = a' a", qui coupent L en 2mm, 2 points u. De luènie, d'un 

 point u on décrit un cercle de rayon ^a'a", qui coupe Um, en 2/«, points a'; les 

 2///| droites a' u coupent Um en 2 m, m points a, d'où l'on décrit des cercles de rayon = aa", 

 qui coupent L en 2m, m2 points x. Il y a donc Sw/w, coïncidences de x et «. 



» Il y a 6mm, solutions étranj^ères, dont 2 mm, sont dues au point x de L situé à l'inlini, 

 et 4'«'"i aux points .v situés sur les ^mm, cordes aa' qui passent par les deux points circu- 

 laires de l'infini. Il reste 2mni, solutions. Donc la courbe cherchée est d'ordre 2mm, (*), 



» III. Une droite a 5 passant pur le point a de la droite aa', et entraînée dans 

 le mouvement, enveloppe une courbe de la classe 4min() fpti « ""<-' tamjente 

 multiple d'ordre 2nira, à l'infini. 



IX, m1m^ lU 

 lU, 2m, m IX 



[\mm^. 



(*) Ce théorème a été démontré maintes fois pour le cas de deu.x droites, où la courbe 

 décrite est une conique; mais je ne sais si l'on a reniar<]ué que de ce cas particulier se peut 

 conclure le théorème général. En efftt, puisque, dans le cas où les deux points a, a' glissent 

 sur deux droites A, A', un troisième point d" décrit une conique, ce point a ->.«( positions 

 sur une courbe Um quelconque, et l'on conclut de là que, réciproquement, lorsque deux 

 points a, a" glissent l'un sur une droite A et l'autre sur une courbe U,„, un point a' de la 

 droite <7fl" a ?. m positions sur une droite quelconque A', et conséqueminent décrit une 

 courbe d'ordre 2m, et a donc 2mm, positions sur une courbe d'ordre U„,. Donc, récipro- 

 quement : quand les points a" et a' glissent sur deux courbes U„, et U„j, un troisième 

 jioint a de la droite a' a" a 2mm, positions sur une droite quelconque A, et consé<]ueiuuieul 

 décrit une courbe d'ordre 2mm,. c. q. v. u. 



