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» II. A t'aide des mêmes moyens combinés avec des éliminations successives 

 convenables, les dérivées principales d'ordre n des mêmes intégrales s'expriment, 

 sans distinction de genres, en fonctions composées des variables indépendantes, 

 des intégiales elles-mêmes et de leurs dérivées purement paramétriques d'ordres 

 égaux ou inférieurs à n. 



)) En nommant JTo, )„, z„,. . des valeurs initiales particulières des va- 

 riables indépendantes x, f, z,... tombant dans les limites d'olotropie 

 d'un groupe d'nitégrales ordinaires, et en posant x r=r x„ , /-"jToi 

 z = 2„,... dans les formules dont il vient d'être question, on obtient immé- 

 diatement cette autre proposition : 



)) III. Les valeurs initiales des dérivées principales d'un groupe d'intégrales 

 ordinaires (ce sont les valeurs que prennent ces dérivées pour x = x^^, 

 Y = ^„, z =: Zo,...) peuvent être calculées au moyen de l'un ou de l'autre de 

 ces deux tableaux de formules, et par conséquent on peut construire les dévelop- 

 pements de ces intégrales par la formule de Tajrlor, dès que l'on connaît seule- 

 ment les valeurs initiales de ces intégrales et de toutes leurs dérivées purement 

 paramétriques, ou, ce qui est équivalent, les déterminations initiales des mêmes 

 intégrales, c est-à-dire pour chacune, la fonction de ses seules variables paramé- 

 triques à laquelle celte intégrale se réduit, qucmd ses variables principales sont 

 fixées à leurs valeurs initiales. 



» 5. Pour la valeur initiale d'une même dérivée principale, les formules 

 ci-dessus mentionnées peuvent donner plusieurs expressions différentes, 

 quand celte dérivée est complexe, c'est-à-dire quand sa formation implique 

 des différentiations intéressant plusieurs variables principales distinctes de 

 l'intégrale correspondante; car alors cette dérivée peut être tirée par dif- 

 férentiation de plusieurs équations distinctes du système immédiat proposé. 

 Cette particularité peut même se présenter pour une dérivée simple, c'est- 

 à-dire dont les différentiations génératrices n'intéressent pas plus d'une 

 variable principale; car l'expression primitive d'une dérivée simple peut 

 contenir des dérivées complexes qui sont, conïme je viens de le dire, sus- 

 ceptibles de plusieurs formes, même avant toute élimination. 



» Il résulte de cette observation que l'application de l'algorithme qui 

 fournit les valeurs initiales des dérivées principales à des fonctions arbi- 

 traires des variables paramétriques des fonctions inconnues, que l'on ne 

 saurait pas d'avance être les déterminations initiales de certaines intégrales 

 ordinaires, peut fournir pour une même dérivée des valeurs numérique- 

 ment distinctes, et, par suite, n'engendrer aucun groupe d'intégrales, abstrac- 



tion faite de tonte considération de convergence. 



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