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» Je suis ainsi conduit à partager les systèmes d'équations différentielles 

 immédiats en deux classes fort distinctes : 



n I. Les systèmes /j(755//s pour lesquels l'algorithme en question fournit 

 indéfiniment, et cela quelles que soient les fonctions arbitraires sur les- 

 quelles on peut l'exécuter, des expressions aLjébtùquement concordantes 

 pour une même dérivée principale quelconque. 



» II. Les systèmes capricieux, où cette identité des expressions d'origines 

 différentes d'une même dérivée principale n'a pas toujours lieu, au moins 

 algébriquement. 



» La nature d'un système immédiat envisagé à ce point de vue se dé- 

 termine au moyen de la proposition suivante : 



» Pour qn un syslème immédiat doiuié soil passif, il est nécessaire et suffisant 

 que les deux expressions calculées en vertu du théorème II du n° 4, pour toute 

 dérivée complexe secoiule d' une fonction inconnue quelconque, soient dans tous 

 tes cas des fonctions identiquement égales des variables x, y, z,..., des fonc- 

 tions inconnues et de leurs dérivées paramétriques des deux premiers ordres, ces 

 quatre sortes de quantités étant, bien entendu, considérées pour un moment 

 comme autant de variables indépendantes distinctes. 



» Ce théorème fournit, pour la passivité d'un syslème immédiat, autant 

 d'équations de condition qu'il y a d'unités dans la somme des nombres qui, 

 pour chaque fonction inconnue, expriment combien ses variables princi- 

 pales offrent de combinaisons deux à deux. 



» 6. J'énonce en ces termes la proposition qui assure l'existence des 

 intégrales ordinaires d'un système inunédial passif quelconque : 



» Considérons un instant tes variables indépendantes, les fonctions inconnues 

 et leurs dérivées paramétriques premières comme autant de variables indépen- 

 dantes distinctes, représentées graphiquement, selon l'usage, par des points en 

 même nombre rapportes, chacun dans un plan spécial, à un couple d'axes coor- 

 donnés rectangulaires. 



» Si, pour toutes les valeurs de ces quantités tombant à l'intérieur d'aires 

 limitatives (S) données dans les plans coordonnés, les seconds membres des équa- 

 tions différentielles du système immédiat proposé en sont fonctions olotropes, et 

 si les conditions de j)assivité sont satisfaites, ces é<ptations odnjettcnt en Xg, /„, 

 «(,,..., valeurs initiales des variables prises ù volonté dans celles des aires (S) qui 

 leur correspondent, un groupe (unique) d'intégrales ordinaires (olotropes), n/n«( 

 pour déterminations initiales des fonctions olotropes de leurs variables paramé- 

 triques, choisies arbitrairement sous la simple condition que leurs valeurs ini- 

 tiales et celles de Ictus dérivées premières tombent dims celles des aires (S) qui 



