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 lement, par une simple construction géométrique, et peuvent ainsi s'asso- 

 cier un à un dans deux séries homogniphiqiics. Que cette courbe soit 

 d'ordre p. Clhaque tangente d'nne courbe quelconque U,„ rencontre cette 

 courbe V en p points a, auxquels correspondent p points a' : les droites 

 menées du point de contact de la tangente de U,„ à ces p points a' forme- 

 ront le faisceau qui remplacera la normale. 



» J'appellerai compagnes des tangentes ces droites qui partent ainsi de 

 chaque point a d'une courbe : on pourra dire aussi compac/iies du point a; 

 et ce point sera le pied des compagnes, de même qu'il est le pied de la nor- 

 male. Ces droites, considérées dans leur ensemble, seront dites aussi les 

 compagnes de la courbe. 



» Je me propose, dans ce moment, de faire connaître les propriétés 

 principales de ces compagnes d'une courbe. Le mode de démonstration est 

 uniforme, et repose sur le principe de correspondance. 



» Les théorèmes s'expriment presque toujours par une fonction de 

 l'ordre et de la classe de la courbe générale que l'on considère. On conçoit 

 dès lors qu'ils résisteraient aux méthodes analytiques. 



§ I. — QOELQUES PROPRIÉTÉS PRÉLIMINAIRES RELATIVES A LA COURBE SEULE 

 DONT ON CONSIDÈRE LES COMPAGNES. 



» L Les compagnes d'une courbe U",, enveloppent une courbe de la classe 

 p(m -f- n) : 



IX, mp lU 



lU, pn IX 



p[m 



» C'est-à-dire : Une droite IX rencontre U,„ en ;« points; la tangente 

 en chacun de ces points passe par p points a de V; on mène des 

 droites lU par les points a', ce qui fait m droites lU. Une droite lU 

 coupe V en /; points a'; par les p points u on mène pn tangentes 

 de U;;,, et par les points de contact pn droites IX. Il existe p[ni h- n) coïn- 

 cidences de lU et IX. Donc, etc. 



» Si le point I est situé sur la courbe U,„, en un point multiple d'ordre v, 

 on reconnaît, par le même mode de démonstration, que : 



» Le nombre des compagnes qui passent par un point d'ordre v de U,„ [autres 

 que celles de ce point) est p(m + n — v). 



» En effet, plaçant le point I au point multiple, on a 



IX, (w-v)/> lU 

 IL, pu IX 



p{iii -h n — v). 



