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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



GÉOMÉTRIE. — Solutions géométriques de nouveaux problèmes relatifs à la théo- 

 rie des surfaces et qui dépendent des infiniment petits du troisième ordre,- 

 par M. A. MANNuem. 



(Renvoi à la Section de Géométrie.) 



« Conservons les notations employées dans ma dernière Communication : 

 r est la section faite dans S) par un plan cpielconqne (r) issu d'un point 

 a de cette surface; A est la normale en ce point à (S); b et c sont les centres 

 de courbure principaux de (S) situés sur cette normale. 



» J'ai montré comment on pouvait construire aux points a, b, c les 

 asymptotes des indicatrices de la normalie à (S) qui a pour directrice V. En 

 prenant ces droites comme directrices d'iui hyperboloïde, nous avons tout 

 de suite l'hyperboloïde osculateur de cette normalie le long de A. Nous 

 savons donc : construire V hyperboloïde osculateur d'une normalie le long d'une 

 génératrice de cette surface. 



» Pour un point quelconque m de A, nous pouvons construire la direc- 

 trice (*) de^cet hyperboloïde, et comme celte droite est l'asymptote de l'in- 

 dicatrice de la normalie, en ce point nous savons aussi : construire i asym- 

 ptote de l' indicatrice d'une normalie en un point quelconque de cette surface. 



» Appliquons cela au problème suivant : 



» Construire le plcui osculateur, en un point m, de la trajectoire orthogonale [m) 

 des génératrices d'une normalie. 



)) Nous conservons toujours la normalie dont T est la directrice. Pour 

 le point m, nous connaissons les deux asymptotes de l'indicatrice de cette 

 surface. Nous pouvons alors déterminer, par rapport à la normalie, la tan- 

 gente conjuguée de la tangente en m à ('«). 



» En employant alors une construction identique à celle dont j'ai déjà 

 fait usage pour déterminer le plan osculateur de la courbe de contact d'une 

 surface et d'un cylindre qui lui est circonscrit, on obtient le plan oscula- 

 teur de (m). 



(') Je désigne ainsi iiiie tlroite de l'Iiyperboloiilc du même système (lue les U'ois direc 

 triées issues de a, b, c. 



