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» On arrive facilement à cette relation en transformant la relation (i) 

 par polaires réciproques, le cercle osculateur de la conique étant pris 

 pour cercle directeur. 



» On peut construire |3 au moyen de la relation (2); on a alors, d'après 

 ce qui précède, le rayon de courbure de la développée de T. 



» Avant d'aller plus loin, voici une autre application de la relation (2) : 



» Construire le plan osculateur de la courbe de contact de (S) et d'un cône 

 qui lui est circonscrit. 



» Reprenons les notations rappelées au commencement de cette Note : 

 désignons par s le sonmiet du cône circonscrit à (S). La courbe de con- 

 tact a, je suppose, pour tangente en son point a la droite at. J'appelle (T) 

 le plan osculateur de cette courbe de contact T. L'hyperboloïde oscu- 

 lateur de la nornialie à (S), dont T est la directrice, contient trois nor- 

 males de (S) infiniment voisines. Il résulte de là que le cône supplémen- 

 taire du cône directeur de cet hyperboloïde et dont le sommet est en s est 

 osculateur le long de as du cône circonscrit à (S). Si l'on mène alors au 

 point rt im plan perpendiculaire à as, la trace de ce cône supplémentaire 

 sur ce plan est une conique dont on connaît en a la tangente et le centre 

 de courbure. On connaît aussi deux tangentes de cette conique : ce sont 

 les traces, sur le plan de cette courbe des plans menés de s perpendicu- 

 lairement aux directrices de l'hyperboloïde, issues des points b et c. 



» Cette conique est donc déterminée et par suite, d'après ce que j'ai dit, 

 le cône directeur de l'hyperboloïde. Nous pouvons alors déterminer la di- 

 rectrice de cet hyperboloïde qui passe en a et ensuite le plan (r) demandé. 



» Revenons à notre problème : 



» Construire le rajon de courbure de la développée de T (deuxième solu- 

 tion). 



» Appelons p le centre de courbure de la section laite dans (S) par le 

 plan {Aat). La projection de [i sur(r) est le centre de courbure a de F. 

 Par la droite a/3 menons un plan parallèle à at. Ce plan est normal au 

 point /3 à l'hyperboloïde osculateur de la normalie dont T est la direc- 

 trice. 



» Désignons par p le rayon de courbure de la section faite par ce plan 

 dans cet hyperboloïde, par r le rayon de courbure de la dévelop|)ée de T. 



c. R., 1S75, I" Semestre, {T. LXXX, N" 10.) "' 



