• ( 622 ) 



On sait que le produit des rayons de courbure p et r est égal au produit des 

 rayons de courbure principaux de l'hyperboloïde au point (i. D'après 

 cela, pour déterminer /-, nous devons chercher le produit de ces rayons de 

 courbure principaux, ainsi que le rayon p. 



» Il est facile de voir que ce produit des rayons de courbure princi- 

 paux est égal au carré du produit qu'on obtient en multipliant fl/3 par la 

 colangente de l'angle zat. 



)) Le rayon p étant le rayon de courbure de la section normale faite dans 

 l'hyperboloïde parle plan qui contient aj3 est facile à construire; car ou 

 connaît la tangente en /3 à cette section, ainsi que les trois points de cette 

 courbe, qui sont les traces sur son plan des trois directrices connues de 

 l'hyperboloïde. En employant la relation (i), on peut calculer ou construire 

 p et par suite on a r. 



» Construire le rayon de courbure de la développée de la section normale 

 faite dans ( S ) par le plan [kat). 



» Ce cas particulier est intéressant, parce que la connaissance du centre 

 de courbure de cette courbe entraîne la connaissance du centre de cour- 

 bure de la développée d'une section quelconque faite dans (S) par un plan 

 mené par at : puisque tous ces centres de courbure sont dans un même 

 plan, qui coniient «T. 



» Désignons par S la section faite dans (S) par le plan [kat). L'asym- 

 ptote de l'indicatrice en a de la normalie à (S), dont S est la directrice, est 

 maintenant la droite a^ elle-même. En opérant comme précédemment, on 

 doit prendre la section faite dans l'hyperboloïde osculateur de cette nor- 

 malie par un plan issu de ]3 et perpendiculaire à A'. La conique résultant 

 de cette section, devant passer par la trace de at sur son plan, a un point 

 à l'infini sur sa normale en |3; en tenant compte de cette remarque, l'ex- 

 pression de p d'après (i) est très-simplifiée. La solution s'achève comme 

 précédemment. 



» Construire les rayons de courbure principaux en un point quelconque m 

 dune normalie. 



)) Nous connaissons, d'après ce qui précède, les asymptotes de l'indica- 

 trice en m. En prenant les bissectrices des angles formés par ces droites, on 

 a la direction des lignes de courbure de la normalie en m. Il suffit alors, par 

 ces bissectrices, de mener des plans normaux à la normalie et de détermi- 

 ner au moyen de la relation (i) les rayons de courbure de ces sections nor- 

 males pour avoir les rayons de courbure principaux demandés. » 



