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 ces n racines constituent une seule et même fonction uniforme deÇ, qui se 

 représente par une série ^"(^), procédant suivant les puissances entières et 

 positives de Ç. Je prends, dans i, l'ensemble de ses premiers termes, en 

 nombre, pour le moment indéterminé, et je désigne le polynôme ainsi 

 formé par/(^). Je désigne par F(?) le reste de la série; en sorte que le 

 système circulaire considéré est représenté par 



(i) ^ = « + ?", j=.;ff?)=/(5) + F(?). 



» Soient maintenant w une racine primitive A^'^'"* de l'unité, et 9(|) un 

 polynôme entier. Je définis une fonction u par l'équation 



(2) "-2- r ïï 



» Cette fonction «est, comme on le voit, rationnelle en x et j. 



» Soit maintenant un second système circulaire relatif, soit au même 

 point singulier que le précédent, soit à un autre. Je le représente par des 

 équations analogues à (i), savoir : 



(3) ^ = fl, + r, j = .f. (?)=/,(?) + F, (?). 



Au moyen d'un nouveau polynôme entier f,, je définis, par une équation 

 analogue à (2), une nouvelle fonction rationnelle «,, relative au système 

 circulaire (3). Je fais la même opération pour chaque système circulaire. 

 J'ai ainsi introduit, pour chacun d'eux, un polynôme entier ç,, et défini 

 une fonction rationnelle «,. Je considère maintenant la somme 



U = w + », + //2 4- . . . . 



La fonction rationnelle U jouit de la propriété suivante, que j'énonce seu- 

 lement, et dont la démonstration est facile : 



)) Lemme. — En substituant, dans \J,àxetj- successivement les systèmes 

 de valeurs (i), (3),..., on obtient des fonctions uniformes de B, : tes développe- 

 ments de ces fonctions suivant les puissances croissantes de § coïncideront res- 



vectivemenl avec ceux de^-^t trH\ ' • • • ' iusqu'à un terme de rang aussi élevé 



au on voudra, sous la condition que l'on ait pris, dans chaque série et,, pour 

 composer citaque polynôme Ji, un nombre de termes assez grand, incds toujours 

 fini. 



» Pour l'objet actuel, il suffira de faire coïncider respectivement les 



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