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 lieux premiers termes de chaque couple de développements correspon- 

 dants. 



» Soit maintenant V une autre fonction rationnelle, exactement définie 

 comme U, mais au moyen de polynômes (}<,, différents des polynômes cpi. 

 De plus, le degré de chaque polynôme i]', devra surpasser de «,• unités celui 

 du polynôme correspondant y,-. Cela étant, je dis que : si la courbe 

 H [a-, )■) := o n'offre aucune particularité à l'infini, la courbe gauche 



T {jc,j-) = o, z = 77 «'« qu'un point singulier, que ce point est à l'infini sur 



l'axe des z, et que chacune des branches qui passent en ce point a une asjmplote 

 distincte, 



1) En effet : i° aux valeurs infinies de x, y répondent des branches infi- 

 nies de la courbe gauche; en raison des degrés respectifs de <]/{ et o,, ces 

 branches répondent à des points simples et ont des asymptotes à distance 

 finie; 2" les valeurs finies de j:, j qui rendent V infini rendent en même 

 temps infinie la fonction U, et l'on voit aisément qu'elles laissent à z des 

 valeurs finies; 3° à chaque système de valeurs finies de j: et de ^ qui an- 

 nulent U répond une branche infinie de la courbe gauche, avec une asym- 

 ptote distincte parallèle à l'axe des z : ces branches se croisent au point sin- 

 gulier unique de la courbe gauche; 4° ^i tous les autres points simples de 

 la courbe plane répondent des points simples de la courbe gauche; 5° aux 

 points singuliers de la courbe plane répondent des points simples de la 

 courbe gauche. Cette dernière propriété peut se démontrer comme il 

 suit. 



M Dans l'expression de z, je substitue à j:* et jr les valeurs (i). D'après le 

 lemme, les deux premiers termes des développements de U et V sont res- 



peclivement les mêmes que dans les développements de p— : et de |rrY-- 



Donc les deux premiers termes du développement de z sont les mêmes 



que dans le développement de ^4^' En raison de l'indétermination des po- 



lynômes 9 et ij», le développement de z commence par c -H a^, c et a étant 

 deux constantes entièrement arbitraires. Il me suffit que « ne soit pas nul 

 pour conclure que ^ est une fonction luiiforme de a, et que, par suite, les 

 valeurs de x et j", infiniment voisines de a et b, qui satisfont aux équa- 

 tions (i), sont des fonctions uniformes de z. Donc au système circulaire (i) 

 répond, sur la courbe gauche, un point simple dont la coordonnée z est 

 égale à la constante arbitraire c. Je répète le même raisonnement pour les 

 autres systèmes circulaires, et je vois qu'il me suffit de prendre toutes les 



