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 constantes, telles que c, différentes entre elles, pour que la courbe gauche 

 satisfasse à toutes les conditions énoncées. 



» Pour arriver maintenant au théorème énoncé au début de cette Note, 

 je suppose que j'aie pris des coordonnées homogènes, et que Jc\ j^ z ne dé- 

 signent plus des coordonnées, mais les rapports de trois des coordonnées 

 homogènes à la quatrième. La coiube plane n'est plus soumise à aucune 

 restriction. Quant à la courbe gauche, dont la courbe plane, au lieu d'être 

 la projection, est maintenant la perspective, son point singulier luiique est 

 placé au point de vue. Elle satisfait aux conditions énoncées dans le théo- 

 rème ci-dessus, qui se trouve ainsi démontré. 



» Voici maintenant une conséquence. Soit p. l'ordre de multiplicité du 

 point singulier sur la courbe gauche, M son degré, m celui de la courbe 

 plane. Ou a manifestement M = m + ,a. Nous pouvons facilement aussi 

 trouver la classe de la courbe gauche. Remarquons que, si n est le nombre 

 des branches de la courbe plane comprises dans un des systèmes circulaires, 

 la courbe gauche, au point correspondant, a avec sa tangente un contact 

 d'ordre [?i — i). Il en résulte aisément que, la classe de la courbe plane 

 étant cet celle de la courbe gauche C, on a 



C = c + 2/j. + I(7i — i) = c + ap. H- N — T, 



N désignant la somme des ordres de multiplicité de tous les points singu- 

 liers de la courbe plane, et T le nombre total des systèmes circulaires for- 

 més par les branches de la courbe en ces points. L'élimination de [j. conduit 

 à la relation 



C - 2 ?,ï = c — 2 /7Z + N — T. 



» La perspective de la courbe gauche, faite d'un point de vue quel- 

 conque, est une courbe plane, de degré M et de classe C, n'ayant que des 

 singularités ordinaires. Donc, si p est son genre, on a C ~ 2M = 2(/> — i). 

 Or cette courbe et la primitive se correspondent point par point. Donc/^ est 

 le genre de la courbe primitive, et l'on a 



"^ip — i) —c — im -\- "^ — T. 



Je retrouve ainsi la formule qui donne immédiatement le genre de toute 

 courbe plane algébrique, et que j'ai déjà démontrée par une méthode très- 

 différente, dansuueprécédenteCommunication(Com/;<e5renc/u5, t.LXXVIil, 

 p. i833). .. 



