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GÉOMÉTRIE. — Propriétés de courbes tracées sur les surfaces. 

 Note de M. Ribaccodr. 



« J'ai l'intention de faire connaître dans cette Note quelques propriétés 

 concernant certaines séries de courbes tracées sur une surface. L'un des 

 théorèmes est une généralisation d'une proposition très-simple de M. Bel- 

 trami; un autre résulte de l'emploi des droites osculatrices à une normalie 

 déterminée. M. Mannheini vient de montrer que ces droites jouent un rôle 

 important quand on considère les éléments du troisième ordre : le théo- 

 rème en question en donne une preuve nouvelle. 



» Dans ce qui suit, je suppose la surface de référence (A) rapportée à 

 ses lignes de courbure (u), (f ), et les équations analytiques rapportées au 

 trièdre instantané AX, AY, AZ, tel que AX et AY soient les tangentes 

 des [i>) et (m), AZ la normale à (A). 



» En désignant par 9 l'angle que fait en chacun de ses points une 

 courbe S avec AX, l'équation du plan normal est 



(i) X cosç + Ysin(j5 = o; 



posant 



T = V- — cos'j T— + sui ç) " 



ds ' fg(h ' Jgdu 



où T est la courbure géodésique de S; R,, Ro désignant les rayons de cour- 

 bure principaux. 



» La caractéristique du plan (1) est déterminée par 



(2) i + Z — — + — ^ -t- (Xsmç) — Ycos9)T = o. 



^' = ^°^'y.7i(il:) + ^'"'?,^(s;) 



+ 3cos^fflsino-^( — 1 + 3sin^G coso -A, , „ 



^ • gdi>\B.,/ ' • Jdu\R, 



mes formules générales donnent pour la caractéristique du plan (2) 



(z[$-3Tsinycos.(l--i-)] + (Xsin.-Ycosç.)^ 



