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 » Éliminant X et Y entre (i), (2), (3), on a pour le Z du centre de la 

 sphère osculatrice à S 



(4) 



Zr$ - 3Tsinycosp(^ - ^)1 



» Le coefficient de Z égalé à zéro donne l'équation différentielle d'une 

 section plane quelconque; il en est qui méritent une étude particulière : 

 ce sont celles que suroscule leur cercle osculateur. Le Z est alors indé- 

 terminé, de sorte que 



rfT sinocnsra / i i \ /ros'o 



sin'mN 



Tds T \R, R, 



(5) STsinç) cos'j (^ — j|-j = <t>. 



» Les centres de courbure géodésique des sections swoscul^es forment dans le 

 plan tangent une courbe du troisième degré tangente à l'origine à AX et AY, 

 qui présente cette particularité que ses trois points d'inflexion sont sur la droite 

 qui joint les centres de courbure géodésique des lignes de courbure : cette courbe 

 passe par les centres de courbure de la section de (A) par son plan tangent. 



» En égalant $ à zéro, on obtient les courbes tangentes aux sections 

 normales surosculées par des cercles (considérées par M. de la Gournerie); 

 leur équation peut s'écrire 



et sous cette forme on voit qu'e/Zes se correspondent sur les surfaces pa- 

 rallèles. 



» On remarque que, dans l'équation (4). les éléments du troisième ordre 

 disparaissent si 



I cos'tp sin-œ 



z + V + -Rr = ^' 



» On retombe alors sur (5), d'où résultent ces deux propositions : 



M La recherche des courbes tracées sur (A), dont les sphères osculatrices sont 

 tangentes à (A), ne dépend que d'une équation du second ordre (propriété déjà 

 établie par M. Darboux, qui le premier a signalé ces lignes). 



» Si l'on trace sur (A) une courbe dont toutes les sphères osculatrices lui soient 

 tangentes, chacun des plans osculateur s de cette courbe coupe (A) suivant une 

 section surosculée par un cercle. 



» Je montrerai ailleurs comment, à l'aide des éléments du premier ordre 



