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)) La Note que M. Ribaucour vient de présenter à l'Académie me donne 

 l'occasion d'en résoudre de nouveaux du même genre. Le travail actuel for- 

 mera donc en quelque sorte un complément à mes dernières Communica- 

 tions. 



» Je conserverai toujours les mêmes notations. (S) est une surface don- 

 née, a un point de cette surface ; A la normale en ce point ; è et c les cen- 

 tres de courbure principaux qui sont sur A; at est une tangente en a à (S). 



» M. Ribaucour appelle courbe à courbure normale constante une courbe 

 2 tracée sur (S), telle que les sections normales à cette surface et tangentes 

 à celte courbe ont, aux points où elles touchent 2, des rayons de courbure 



égaux. 



» Proposons-nous le problème suivant : 



» Construire le plan osculalcur de la courbe à courbure normale constante 

 qui est tangente à nt. 



>> Appelons I cette courbe, (2) son plan osculaleur en a, a le centre de 

 courbure de 2 correspondant au point a. La perpendiculaire au plan (2) 

 élevée du point a. est l'axe de courbure de 2. Cette droite rencontre A au 

 point |3 et le plan (T), tangent en a à (S), au point y : p est le centre de 

 courbure de la section faite dans (S) par le plan ( Arti) et 7 est le centre de 

 courbure géodésiquc de 2. 



1) D'après la définition de 2, les rayons de courbure des sections nor- 

 males à (S) et tangentes à 2 sont égaux à a^. Les points tels que /3 sont 

 alors sur une courbe (|3) trajectoire orthogonale des génératrices de la nor- 

 malie à (S) dont 2 est la directrice. 



» Le plan normal en a à 2 est tangent à cette normalie au ooint p; le 

 plan normal à 2, infiniment voisin de celui-ci, touche la normalie en un 

 point de (j3), infiniment voisin de |3. La droite d'intersection de ces deux 

 plans normaux, c'est-à-dire l'axe de courbure |3a est donc la tangente con- 

 juguée par rapport à la normalie de la tangente en /3 à (p). L'asymptote de 

 l'indicatrice de la normalie au point /3 et la droite A forment avec ces tan- 

 gentes conjuguées un faisceau harmonique. Et comme ay est parallèle à 

 l'une des droites de ce faisceau, elle est partagée en parties égales par les 

 trois autres. 



)) D'ajtrès cela, on obtiendra sur le plan (T) la trace/ de l'asymptote de 

 l'indicntrice au point 1*3 en jirolongeant a-j d'iuie longueur y/ égale à «y. 



)) Considérons le long de A un hyperboloïde osculateur de la normalie 

 à (S), dont 2 est la directrice. Nous savons construire les directrices de 

 cet hyperboloïde issues de h et de c; appelons b' et c' les traces de ces di- 



