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 tions inconnues de x et de h, liées par les relations 



j = e''-"- z, t =- -- = ~—-h/i. 



•^ y clx z il.r 



» Les cas fort restreints où l'on est parvenu à intégrer les équations qui 

 peuvent se ramener à ces trois types, sous forme finie, toulen laissant la va- 

 leur de h nrbilraire, me paraissent tous réductibles à celui où X = — — ?, — , 



Il étant un nombre entier (*). 



>) J'ai réussi à étendre ces cas, d'une manière assez notable, en trouvant 

 le moyen de calculer, par voie de récurrence, la valeur la plus générale de ). 

 pour laquelle l'équation (2) admet comme intégrale particulière un poly- 

 nôme entier et rationnel de degré n, par rapport au paramètre h. 



» Ce résultat se déduit naturellement d'une proposition relative aux 



équations aux dérivées partielles de la forme — ^ r=X^.T,^)r, démontrée 



dans un travail encore inédit, dont l'Académie a ordonné en 1870, sur le 

 Rapport de M. Bertrand, l'insertion aux Mémoires des Savants étrangers; 

 mais à cause de son caractère élémentaire, il me paraît utile de l'établir 

 par une analyse directe. Je me bornerai dans cette Note à exposer cette 

 analyse, me réservant d'en étudier plus tard quelques applications. 



» II. Pour établir l'équation de condition à laquelle doit satisfaire )., je 

 considérerai l'équation (2) sous une forme un peu généralisée, savoir 



, , (t'z i J d\(i!ia\ dz . 



où ^ désigne comme X une fonction de la seule variable x. 



" La substitution directe de z = AjA" 4- A, //""' +... + A„, oùA„etA„ 



(*) Dans lin Mémoire, inséré aux Transactions phUosophiqucs pour l'année i8'8, (|iii 

 a valu il son auteur la médaille de la Société royale de Londres, M. Harjjreave étudie avec 

 détail et signale, comme renfermant Us |diis remarquables des équations différentielles du 

 second ordre, susceptibles d'être entièrement intégrées, l'équation 



d'-u r, // + ! ij^'lrilr/re V 9.i('« + i) / //+ iX J/'i'a:) ^l/"(•r^ 



dx' |_ ./• ^j\X^\d.r. .,■ \ -^ /+(-^) 'K-'OJ 



laquelle est réductible à 



I d'y u[n ■ 

 y f/.r' X 



|iar la transformation 



+ ld. 



y = ^[x)x"^'à'n. 



