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 sont supposés différents de zéro, montre immédiatement que si cette valeur 



dK I 



de z vérifie l'équation (rt), A„ est une conslaiite '"t -^ = - A„),. 



" Si donc on pose 



r, est un polynôme au plus dn degré ?/ — r , par rapport à h ; mais, d'autre 

 part, on tire successivement des équations [a] et (è), 



<lz, /, (/loyciA 



ic] Z = — ^ + 2U' + 



(ix \ dx 



et, en écrivant 



d- logo> 



dx- 



[d) >.,=). 



, , rf'z, /, d\o':^rs\\ dz, ^ 



(^') d?.-^^y'-^-d7-)d~x-^'^'--=''^ 



l'équation (c) montre que z est par rapport à h d'un degré snpérienr au 

 pins d'nne unité à z,, et, par conséquent, ponr que l'équation (n) admette 

 pour solution un polynôme du degré n, par rapport à //, '\\faiit et il suffi l 

 que l'équation {(t,) admette pour solution un polynôme de degré h — i. 

 )) Si donc on pose, en général, 



(dp) >.;,+, = A/, -— , 



on aura aussi 



et 



, . d'zp^, f , d\o g^X,.,...\ A <h,^ _ 



(«z-^. ) -^n^ + \2h-\ — j ^^ - k,,^, .,,+, - o. 



Il résulte de li'i que la condition nécessaire et suffisante cherchée consiste 

 en ce qne A„ soit nul identiquement et soit la première des quantités X, 

 ),i, . . ., Xp qui s'annule. Lorsqu'elle est remplie, on peut prendre z„=-- \ , et 

 les équations (c^) donnent alors snccessivement z„_,, z„_o, et finalement z. 

 » En choisissant arbitrairement la fonction X„_|, les équations (r/p) per- 

 mettent de calculer successivement X„_2, >„_3,. ., X et -— > et l'on obtient 

 ainsi avec une fonction arbitraire le type le plus général des équations de 



