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 Ja forme {a) qui ndmellpiit comme intégrale particulière un polynôme en- 

 tier et rationnel de degré n par rapport à //. 



)) III. Le problème qni fait l'objet de celte Note se trouve, par ce qui 

 précède, ramené à Tintégration de l'équalion d'ordre 2/î, 1„=o, dans 



l'hypothèse où -ry = o. Cette intégration peut être effectuée par voie de 



récurrence. Concevons, en effet, que l'on ait trouvé une valeur de X pour 

 laquelle X„ s'annule identiquement. 



» L'équation h 2h -^ — Xs = o admettra inie intégrale de la forme 



• di:' dx " 



z -= Y{x, h) = h" + A, //"-' + A, h"-- + . . . + A„, 

 et, par suite, son intégrale générale sera 



z = aY{x, li) + be---'''=Y[x, - h), 



rt et i étant les constantes arbitraires, et A,, A,,..., A„ des fonctions de x, 

 que l'on calcule aisément au moyen des dérivées logarithmiques de X, 



)) Cela posé, soit fait Ç =: -^ -i- (7^ — t)z, t désignant ime fonction de x, 



indépendante de /?, que nous laissons provisoirement indéterminée. Il est 

 clair que si l'on peut choisir t de manière que Ç vérifie une équation de la 



forme (2), — 4- 2// -j-, — f-Z = o; celle-ci admettra pour solution un po- 

 lynôme, en général de degré u + i par rapport à /;, et, par suite, p. sera 

 une solution de l'équation X„+| = o. 



" Or de 'Ç= ~-k- [h — t)z on tire facilement 



d'I , de /. dx \ ., fiCk d-x d- 



-T-. + 2h- [k— 2— ]€, = [-. — — 2T — 



dx^ dx \ dx I \d.)- d.i- ax 



» En conséquence, ])ourvu que l'on ait 



d'r dr d\ 



-,-- H- 2T-- r= —, 

 dx- d.i: dx 



OU, ce qui revient au même, en désignant par k une constante, pourvu que 

 T vérifie l'équation --^ -+- t- = X -4- A'\ que nous savons intégrer, la fonction 

 p. = X — 2 ^ sera une solution de l'équation X,,.^, = o. Celte valeur de ^, 



