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 la multiplication des quantités F ou des quantités H; relativement à l'ex- 

 pression 



W = «f,GG, G, G, G,, 



il a énoncé (page 71) une propriété très-remarquabh^ ; mais il a déclaré en 

 même temps ajourner l'étude de cette nouvelle espèce de fonctions. 

 1) Si l'on désigne par u l'expression 



/. = «=(o.j(i2)(23)(34)(4o) = r7,^(oia34), 



la propriété remarquée par M. Hermite peut s'énoncer de la manière sni 

 vante. Si, en prenant comme point de départ l'expression 



puW -h qii, 



on forme l'équation du sixième degré qui a le mémegroupe que l'équation 

 du multiplicateur dans la transformation des fonctions elliptiques, équa - 

 tion à laquelle, comme il est connu, on peut donner la forme 



(1) {z — n'f — 4a{z — ay -h loh {z — ny — l\c{z — a) -\- 5b- — ^irtc — o; 



le coefficient a qui est du second degré relativement aux indéterminées p, 

 q ne contient pas le terme en pq. 



)) On peut démontrer que cette propriété est susceptible d'une grande 

 extension, parce qu'à chaque fonction y'z des racines jr„î ■^n -^ij-^^si-^'i q"i 

 a la propriété d'être racine d'une équation de la forme (i), correspondent 

 deux, et seulement deux, fonctions des racines Xo, x,,.. , a:,, qui ont la 

 propriété signalée par M. Hermite. En effet, en indiquant par f{z) le pre- 

 mier membre de l'équation (i), on a, pour une racine quelconque z, 



r,/ ■ dz <lf ,fi \ dz <lf 



fi'-^7r, + i = ^^ /(^)* + f = «5 



I 1 A d/ df , 1 1 ' o 



par conséquent les polynômes -~i —étant des degrés o, i en r-, on aura 



(^) SS = "' Sï^°' 



la notation 2£ s'étendant aux racines de l'équation y (z) = 0. Or on sait 

 que, si la fonction \/z a la propriété indiquée plus haut, la même propriété a 

 lieu relativement à ses dérivées prises par rapport aux coefficients <t, h. c; 

 on sait de plus qu'entre \z et ces dérivées existe une relation linéaire et que 

 toute fonction entière de \z qui jouit de cette propriété peut s'exprimer 

 en fonction linéaire des dérivées de \/z par rapport aux coefficients «, ft, c. 



