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 En consi-quciice, si 1 on considère l'expression 



on aura une équation en Z de la forme (i), qni sera la plus générale de 

 celte espèce ; mais, en désignant par A, B, C les coefficients de cette équa- 

 tion, on aura évidennnent 



ioA=.o..;;^+V=S(ï)'+'-^S('-^)' 



yd yz d Jz V /~ '^ \i^ V '" 



et, à cause des relations (2), les coefficients de pq, pr sont égaux à zéro, 

 c'est-à-dire que l'expression de A ne contient pas les termes en pq et 



en pr. Les quantités ^—-^, —^ sont par conséquent de la même espèce 



que la fonction uW considérée par M. Hermite et sont les seules qui pour 

 chaque fonction \jz puissent exister. 



M Cela posé, je vais déterminer quelle est la relation entre la quantité z/W 

 considérée par M. Hermite et les deux dérivées d'une certaine fonction y'z 

 qui ont la même propriété. 



» Soit 

 (3) (rt„, a, a,, a,, a-,, a,){.T, 1)^ = 



l'équation du cinquième degré dont les racines sont x^, .r,, ..,a",,. En 

 posant 



a, = ^0^5 — 3rt,rt., -t- artort;, , 

 «2 = 2(a, ^5 — ^a.,a,, + Srt,), 



— 2^0 = ao«2 — 2rt,ai + rtofZo. — 2/3, = rtiao — 2a. a, -+- a^u^, 



— 1^-2 = rtotto — art;, a, + a.;a,„ — 2j3., = r/ja.j — 2rto«i + rt^a^, 



enfin 



on a, pour les invariants des degrés quatrième, huitième, douzième de la 

 forme (3), les valeurs suivantes: 



h ._- 5'{u,oc., - c/.'i). i = Ô5^(a„7, - 2a, 7, + ^,7*), / ^ 5'-(7„7. - 7;), 

 et, en indiquant par le produit des dillèrences des racines nndtiplié par 



