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(ot — l)(ffj — 2) _, ... , . , , 



• Cette condition s exprimera par des équations en quanti- 

 tés finies que l'on sait former. 



>) Quant aux autres conditions, elles s'expriment par des équations aux 

 différences partielles du second ordre dont il s'agissait d'obtenir les inté- 

 grales générales, ce à quoi je suis parvenu, ce qui me permet de formuler 

 le type le plus général des équations des surfaces algébriques capables de 

 cubalure algébrique. 



» Soient 

 (A) (p [x, y, s) 4- (]> (:r, ;-, z) + i[x, y, z) + . . . =o 



l'équation la plus générale de degré 02, décomposée en groupes de termes 

 homogènes; [a, /3, i] une solution de l'équation <p (.r, j-, z) = o, et 



° = — — — - les équations d'une asymptote de la surface, on obtien- 

 dra la condition qui doit lier j^o et j"o, en faisant dans (A) x = x^ + up, 

 y = } + /3/3, 2 = p, et exprimant que l'équation en p a une seconde ra- 

 cine infinie. La substitution donne 



de sorte que la condition cherchée entre j"o et 1 ^ est 



(«) ^\%^ J» ?'? + '^ {'^-^ l'3. = o, 



qui représente une ligue droite. 



M La condition pour que l'asymptote rencontrât la surface en un troi- 

 sième point situé à l'infini serait 



[a] xl 9I, +-jl 9".+ 2X„j„ '^+ 2.r„ '];', 4- ly,']/. + iy^ (a, /3, i) --= o, 



d'où l'on voit que, parmi les asymptotes parallèles à ini rayon infini, il y 

 en aura généralement deux qui rencontreront la surface en trois points si- 

 tués à l'infini. 



» On exprimera que toutes les asymptotes remplissent cette nouvelle 

 condition en éliminant a\, entre (a) et (/;) et annulant les trois termes de 

 l'équation du second degré en ^^i, qu'on aura obtenus. On trouve ainsi 



( B) ©', 9'; -f- o\,il — 2 f% '/„ 9; = o, 



(C) [9:.. 9; - 9:,9l ] ij^ (a, (3, 1) - f, yl 9; + 1; (p'^ = o, 



