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 Ce sont ces trois équations qu'il s'agit d'intégrer. Or la première, qui se 

 rapporte exclusivement à la fonction (f, exprime que le cône lieu des 

 rayons infinis menés de l'origine est un système de ni phns. En effet, 

 l'équation de ce cône est (j)[-t,j-, z) r= o, de sorte que ^(x, ;■, i) =^ o est 

 l'équation de la section de ce cône par le planz= i. Or, pour exprimer 



que cette section est composée de droites, il faudrait exprimer que -^ est 



nul en un quelconque de ses points : c'est ce qu'exprime l'équation (B). 

 En effet, l'équation f {x, j, \) = o donne d'abord 



, dr 

 et ensuite 



qui se réduit à l'équation (B) quand on remplace -j- par sa valeur. 



» Par conséquent, la fonction 155 doit être le produit de m facteurs li- 

 néaires et homogènes en Jc,j-, z. 



)) En second lieu, l'équation (C) exprime que toutes les asymptotes sont 

 effectivement contenues dans m plans. En effet, toutes les asymptotes infi- 

 niment peu inclinées les unes sur les autres sont déjà parallèles à un uiéme 

 plan, car une asymptote variable de direction d'une manière continuenet 

 saurait en tout cas changer de plan directeur qu'en prenant momentané- 

 ment la direction de l'intersection de son ancien plan directeur avec l'un 

 des [m — 1) autres, de sorte que, si la trace sur le plan desjc/du plan lieu 

 des asymptotes parallèles à la direction [a, |3, i] ne change pas quand on 

 fait varier infiniment peu a et |3, toutes les asymptotes parallèles à un 

 même plan directeur seront elles-mêmes dans un même plan. Or c'est pré- 

 cisément l'invariabilité de cette trace 



{a) JCf[ -hjf\ +4;(a, p, 1) = 



qu'exprime l'équation (C). En effet, si l'on fait croître a de da et p de d^ 

 dans l'équation de cette droite, elle devient 



■ar (?'. + 9I. 'Ix -+- flf r/p ) 4- j ( ^; -f- f^, c/p 4- (pl^ (lu) 

 -^ (];(«, /3, i) + f„ (la -+- (}; d^ = o, 



et si l'on veut exprimer que les deux droites coïncident, il faudra exprimer 

 que les accroissements des coefficients sont proportionnels aux anciennes 



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