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 valeurs de ces coefficients. On trouve ainsi 





OU, en remplaçant-^ par r > 



du. 



i' I ' I ' Ta 



c'est-à-dire précisément les équations (B) et (C). 



M Quant à l'équation (D), il est inutile d'en chercher la traduction, puis- 

 qu'elle exprime que chacune des asymptotes coupe la surface en un troi- 

 sième point silué à l'infini : elle doit exprimer que chacun des m plans 

 asymptotes coupe la surface suivant une courbe de degré [m — 3) seule- 

 ment. 



» L'équation d'une surface capable de cubature algébrique doit donc 

 rentrer dans le type 



X [h,nX + B,„j + C,„i -4- !),„) -f- <!)„,_, (x, j, z) = o, 



•l'm-s désignant un polynôme complet de degré (m — 3). 



» Mais ces conditions, jointes à celles qui découleraient de ce que la sur- 

 face doit présenter une ligne double de degré ~ 1 ne suffiraient 



pas encore, parce que les sections par des plans parallèles aux m olans 

 asymptotes n'étant plus que du degré (m — i), leurs asymptotes ne les 

 couperaient qu'en deux points à l'infini. La condition complémentaire à 

 introduire montre que les m plans asymptotes ne sauraient être quel- 

 conques les uns par rapport aux autres. 



)) En appliquant la méthode aux surfaces du troisième ordre, on trouve 

 que, en dehors des surfaces qui auraient partie de leurs plans asymptotes à 

 l'infini, les seules qui soient capables de cubature algébrique sont les cy- 

 lindres à base de foluun et à base de trèfle, 



conjugués l'un de l'autre. » 



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