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GÉOMÉTRIE. — Sur quelques conséquences d'un théorème général relatif à un 

 implexe et à un sjstèmc de surfaces. Note de M. G. Fouret, présentée par 

 M. Chasles. 



« L'étude des implexes el des systèmes généraux de surfaces conduit à 

 des résultats également utiles, qu'on l'envisage au point de vue delà Géo- 

 métrie pure, ou au point de vue de ses applications à l'Analyse. Considérés 

 comme mode de représentation de certaines équations aux dérivées par- 

 tielles, les implexes et les systèmes de surfaces pourront, dans certains cas, 

 fournir l'expression analytique de l'intégrale générale de ces équations. 

 Nous sommes arrivé à intégrer de la sorte une classe assez étendue d'équa- 

 tions aux dérivées partielles du premier ordre dont, à notre connaissance, 

 on n'avait pas encore obtenu l'intégrale. Nous espérons être en mesure 

 assez prochainement de publier ce travail. 



)) Considérés comme êtres purement géométriques, les implexes et les 

 systèmes de surfaces constituent en quelque sorte des types très-généraux, 

 dont on peut faire dériver un nombre presque indéfini de types secon- 

 daires, n'ayant souvent aucun lien apparent, comme les surfaces algé- 

 briques, les réseaux de surfaces, les congruences de droites, etc. La notion 

 des implexes établit ce lien et rattache les unes aux autres des propriétés 

 à première vue très-différentes, en en faisant de simples corollaires d'un 

 même théorème beaucoup plus général. Ainsi ressort une fois de plus le 

 caractère propre des méthodes de la Géométrie moderne, qui, suivant les 

 termes de M. Chasles (*), est de « pénétrer jusqu'à l'origine des ventés et de 

 » mettre à nu la chaîne mystérieuse qui les relie entre elles, » 



» La présente Communication a pour objet un théorème d'une grande 

 généralité sur les implexes et les systèmes de surfaces, que nous démon- 

 trerons et dont nous tirerons ensuite un certain nombre de conséquences 

 presque immédiates. 



M Théorème L — Le lieu des points de contact des sui faces d'un implexe 

 (9, y) avec les surfaces d'un système (a, v, p) est utie surface de l'ordre 

 (a -h v) ^ + IJ.0. 



» L'enveloppe des plans tangents communs correspondants est une surface de 

 la classe (v + p) 9 -+- p5. 



» Il suffit évidemment de démontrer l'une des deux parties du théorème, 

 la seconde par exemple; car l'autre s'en déduira aussitôt en verlu du 



(') Rapport sur les progrès (le la Géométrie^ p. 80. 



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