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principe de dualité. Cherchons, à cet effet, le nombre des plans tangents à 

 l'enveloppe qui passent par une droite quelconque D. 



» Le lieu des points de contact des plans tangents menés par D aux sur- 

 fiaces de l'iraplexe(ô, (p) est une surface (S) de l'ordre ô +• y, dont 5 nappes 

 se croisent suivant D (*). D'autre part, le lieu des points de contact des 

 mêmes plans avec les surfaces du système (;j., v, p) est une courbe C 

 d'ordre v -+- p qui coupe D en v points (**). Le nombre total des points 

 d'intersection de (S)etde C est par conséquent égal à (ô + 9) (v -h p) (***). 

 Or ces points sont évidemment les points de contact de deux surfaces ap- 

 partenant l'une à l'implexe, l'autre au système, à l'ejcception de ceux qui 

 sont situés sur D. Ces derniers, au nombre de v, sont multiples d'ordre d et 

 comptent ensemble pour vô. Par suite l'enveloppe cherchée est une surface 

 de classe (9 + y) (v + p) — vO = (vp) y + pQ. 



» CONSiîQUENCES. — Dans le cas où l'implexe se réduit à une surface du 

 in"^'"^ ordre, et le système à une courbe plane ou gauche du p"'""' ordre, on 

 a 6 ^ o, ip = tu, |x = o, V = o, p = p, et l'on retrouve ce théorème bien 

 connu sur lequel nous venons de nous appuyer dans la démonstration |)ré- 

 cédente, à savoir qu'wne surface du m^^'"^ ordre et une courbe plane ou gauche 

 du p"""" ordre se coupent en mp points {"")■ 



» On retrouverait pareillement la propriété corrélative. 



» Le système (p., y, p) restant quelconque, si l'implexe se réduit à une 

 surface du m"""" ordre, la seconde partie du théorème I donne l'énoncé 

 suivant : 



» Thi<:orÈme IL — L'enveloppe des plans tangents aux surfaces d'un système 

 ([J.,v, p), aux points oii celles-ci coupent une même surface du »;""'"<■ ordre, est 

 une surface de la classe m[v + p). 



)) On obtient de même la propriété corrélative qui suit : 



» Théorème IIL — Le lieu des points de contact des surfaces d'un système 

 [p., V, p) avec les plans tangents d'une surf ne de n"''"^ classe est une surjace de 

 degré n(^\}. H- v). 



(*) Comptes rendus, t. LXXIX, p. 689. 



(**) Comptes rendus, t. LXXX, p. 170. Généralisation d'un théorème donné par M. de 

 Jonquières, t. LVIII, p. 567. 



(**') Voir une démonstration géométrique de ce théorème [Bulletin de lu Société mathé- 

 inati<iue, t, I, p. 128). 



(****) Voir une démonstration géométrique de ce théorème ( £«//t'?/« de ta Société mathé- 

 matique, t. I, p. 258). 



