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 » Dans le cas où l'iniplexe se résout en une congruence de droites [9, tp), 

 le théorème I devient : 



» Théorème IV. — Le lieu des points de contact des surfaces d'un système 

 {jj., V, p) avec les droites d'une congruence [Q, 9) {*) est une surface de iordre 

 {[Ji+ v)d -h p.a>. 



» L'enveloppe des plans tangents correspondants est une surface de la classe 



(v -H p)cp -+- pd. 



n En particulier : 



» Théorème V. — Le lieu des points de contact des surfaces d'un système 

 (/x, V, p) avec les droites s' appuyant sur deux courbes, planes ou gauches, de 

 degrés p et q, Cp et C^, est une surface de l'ordre (ap. + v)/3f/. 



» On voit de plus immédiatement que le lieu a p. nappes se croisant sui- 

 vant chacune des courbes Cp et C^. 



» Si l'iniplexe est formé de sphères ayant leur centre sur une courbe C^ 

 de degré p, on a. 6 = <p = p, et le théorème I donne l'énoncé suivant : 



M Théorème VI. — Le lieu des pieds des normales menées par les divers points 

 d'une courbe de degré p, Cp, aux surfaces d'un système [p., v, p), est une surface 

 de iordre [2p. + v)p, dont p. nappes se croisent suivant Cp. 



» L'enveloppe des plans tangents correspondants est une surface de la classe 

 (v + 2p)p. 



» Le système {ix, v, p) peut consister en un faisceau de surfaces du 

 jj^ième ordre . alors a =1, v = 2 (m — i), ^ = 3(7W — i)% et l'on obtient le 

 théorème suivant : 



» Théorème VIT. — Le lieu des points de contact des surfaces d'un implexe 

 [Q, (f) avec les surfaces d'un faisceau du m'"'"^ ordre, sans singularités, est une 

 surface de l'ordre [im — i)Q -\- y, dont Q nappes se croisent suivant la courbe 

 fondamentale du faisceau. 



» Dans le cas où l'implexe est formé de sphères ayant leur centre sur 

 une courbe plane ou gauche de degré p, Cp, le dernier théorème donne 

 le suivant : 



» Théorème VIII. — Le lieu des pieds des normales abaissées des divers points 

 d'une courbe plane ou gauche de degré p, Cp, sur les surfaces d'un faisceau algé- 

 brique du 771'"'"^ ordre, sans singularités, est une surface de degré imp, qui 



(*] Le théorème XXI, sur les congruences, île ma Communication du 21 septembre der- 

 nier {Comptes rendus, t. LXXIX, p. 698) avait déjà été donné auparavant par M. Halphen 

 [Bulletin de la Société mathématique, t. I, p. 255 ). 



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