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 contient comme ligne simple la courbe Cp, et dont p nappes se croisent suivant 

 la courbe fondamentale du faisceau. 



» En particulier : 



» Théorème IX.— Le lieu des pieds des nornmtes abaissées des divers points 

 d'une droite D sur les surjaces d'un faisceau algébrique du m"''"'^ ordre, sans 

 singularités, est une surface de degré 2m, qui contient la droite D et la courbe 

 fondamentale du faisceau. 



» Ce théorème se démontre aisément d'une manière directe, à l'aide 

 d'une rotation infiniment petite du faisceau autour de la droite D. 



» L'intersection complète de la surface du lieu (VIII) avec chacune des 

 surfaces du faisceau est de degré 2m- p. Eu en déduisant la courhe fonda- 

 mentale du faisceau, qui est de degré m^ et qui compte p fois dans l'inter- 

 section, il reste une courbe de degré nrp; par suite : 



» Théorème X. — Le lieu des pieds des normales abaissées des divers points 

 d'une courbe d'ordre p, Cp, sur une surface algébrique du m'^'"'' ordre, est une 

 courbe d'ordre m- p, qui rencontre Cp aux nip points d'intersection de cette 

 courbe avec la surface. 



» En remplaçant la courbe Cp par une droite, on retrouve un théorème 

 que M. Mannheim a donné dans ces dernières années, et dont il a déduit 

 diverses conséquences relatives aux normales et aux normalies d'une sur- 

 face (*). 



» Du théorème VIII on déduit encore facilement le suivant : 



» Théorème XI. — Le lieu des pieds des droites twrmales aux swf aces d'un 

 faisceau du m'""^ ordre., sans singularités, et s appuyant sur deux courbes Cp et 

 Cy, d'ordres respectivement égaux à p et à g, est une courbe d ordre 3 m- pq, 

 qui rencontre chacune des courbes Cp et Cq en zmpq points. 



» En particulier : 



1) Théorème XII. — Le lieu des pieds des droites normales aux surjaces 

 d'un faisceau du m"'""^ ordre, sans singularités, et s'appuyant sur deux droites 

 fixes, est une courbe d'ordre 3/k*, qui rencontre chacune des droites fixes en 

 2ni points. 



» Nous pourrions pousser plus loin ces déductions ; mais les exemples qui 

 précèdent nous paraissent suffire pour montrer la fécondité des théorèmes 

 du genre de celui que nous avons énoncé en commençant, et que nous 

 avons démontré avec une si grande simplicité. » 



(*) Comptes rendus, t. LXX, j). loaS. 



