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 aussi petit qu'on le désire. Cependant, par suite des opérations indiquées, 

 savoir : substitutions des nouvelles variables, dites anomalies partielles^ 

 dans l'expression de dY, on est conduit à y introduire aussi l'angle 

 c'= c'g — |j.Co + iJ.2tnn comme variable; l'expression dans laquelle on a 

 désigné par Cp et Cq les anomalies moyennes correspondant à l'origine du 

 temps, par p. le rapport des moyens mouvements, et enfin par m un entier 

 signifiant le nombre de révolutions du corps troublé écoulées dans le même 

 temps. Au moyen d'une anomalie partielle et de la variable discontinue c', 

 on est en état d'éliminer l'anomalie s.'. 



» On est facilement convaincu que le développement de (A)""", suivant 

 les multiples de l'anomalie partielle, sera très-convergent à mesure qu'on 



fera le rapport ~ petit; cependant la couvergence suivant l'argument c' 



peut être d'une extrême lenteur, comme, en effet, on a eu occasion de 

 le voir dans l'exemple calculé par M. Hansen dans le Mémoire mentionné 

 ci-dessus. 11 paraît donc d'une importance extrême de trouver des mé- 

 thodes par lesquelles on puisse développer la puissance (A)~" de ma- 

 nière que la couvergence suivant les deux variables soit très-rapide. Voici 

 un moyen qui s'appuie sur l'introduction d'une intégrale elliptique comme 

 argument au lieu de c'. 



» En désignant par nig, m,,..., «,,... des fonctions de l'anomalie par- 

 tielle, on obtient pour (A)- l'expression suivante . 



[A]- = lUg + m, cosc'h- m^ cosac'+ . , . 

 + 71, sinc'-t- rio sin 2c'+ . . . . 



» On peut remarquer que les fonctions /«„, 111,,... sont soumises à des 



variations d'autant plus petites qu'on a fait le module du rapport - peu 



sensible; en outre, les coefficients m^ et «o sont du premier ordre par rap- 

 port à l'excentricité de la planète troublante, ^3 et n^ du deuxième ordre, 

 et ainsi de suite. L'expression précédente de (A)-' peut être transformée de 

 la manière suivante. Soient x et j deux fonctions de l'anomalie partielle, 

 déterminées de manière que les termes dépendant de l'argument 2 c' dispa- 

 raissent dans le produit (1 -(- x cosc' -\- j sine') (A)-; on obtient, en intro- 

 duisant les notations (i -f- x cosc' + j sine') (A)- = T, -F Tj, 



T, = m\ H- 1n^ cosc' -7- «', sine', 



T2 = /M'3 cps3c' • l- m^ cos 4c' -h . . . + ri^ sin 3 c' + lî^ sin 4 c' -i- . . , 



