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 un résultat de la forme 



(A)"""=^ (i -I- arcosf'-f-j;' sine')' — 



■■] 



» Les fonctions :retjr étant du premier ordre et To du deuxième, tous 

 les développements par rapport à l'argument c' convergeront rapidement 



n n 



à l'exception de ceux de T, % T," ,. . . . Nous nous réservons d'exposer, 

 dans une prochaine Note, le moyen par lequel on obtient des séries 

 nouvelles jouissant d'une convergence rapide, même dans les cas les plus 

 difficiles. » 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur les résidus de septième puissance. 

 Note du P. Pépin, présentée par M. Hermite. 



« On sait que Jacobi a fondé la théorie des résidus cubiques sur la dé- 

 composition du quadruple des nombres premiers, dont la division par 3 

 donne i pour reste, en la somme d'un carré et du triple d'un autre carré 

 divisible par g; de sorte que, ce quadruple étant mis sous la forme 



la valeur à laquelle se réduit le rapport —i suivant un module donné q, 



permet d'assigner la classe à laquelle appartient le module q parmi les 

 résidus ou les non résidus cubiques pour le nombre premier p. Comme tous 

 les nombres premiers dont la division par 7 donne i pour reste peuvent 

 se mettre sous la forme ^ = L" + 7M% il est naturel de se demander si 



la connaissance de la valeur à laquelle se réduit le rapport j-^) suivant un 



module q, pourrait servir à déterminer la classe à laquelle ap[jartient ce 

 module parmi les résidus ou les nou-résidus de septième puissance rela- 

 tivement au nombre premier p, ou encore, dans le cas où cela n'aurait pas 

 lieu, s'il existe quelque facteur complexe du nombre p pour lequel on 

 puisse établir des lois de réciprocité analogues à celles qui sont fondées, 

 dans la théorie des résidus cubiques, sur la considération du facteur com- 

 plexe LdzSy/— iM. Telle est la question que je me suis proposée; je 

 donne ici les principaux résultats de mes recherches. 



» Quoique la première partie de cette question ait été résolue négative- 

 ment, j'énoncerai néanmoins une règle simple poiir calculer, au moyen 



