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 pour les résidus de septième puissance. Cela posé, notre loi de récipro- 

 cité pour les deux nombres premiers p — "jv; -^ i et q = 'jq' -h i est expri- 

 mée par le théorème suivant : 



» Théorème I. — Si le nombre q appartient à In classe (/) relativement au 

 module p et à la base t, dont on a fait usa<je pour le calcul de la fonction ;R,_,, 

 ta valeur de l'expression <f (jS) (mod.(/) appartient aussi à la classe [i) relative- 

 ment au module q et à la base g. 



n En faisant i = o, on a le théorème suivant : 



» Théorème II. — Le nombre q est résidu ou non-résidu de septième puis- 

 sance relativement au module p, suivant que la valeur de l'expression >f((3) 

 (mod. q) est elle-même un résidu ou un non-résidu de septième puissance pour 

 te module q. 



» Il existe aussi une réciprocité de septième ordre entre un nombre pre- 

 mier p de la forme 7^7 -f- i et un autre nombre premier q = 'jq' — i ; mais 

 elle repose, comme dans la théorie des résidus cubiques, sur la considé- 

 ration des racines imaginaires de la congruence .x**' — i eh^o (niod. q). Il 

 existe pour cette congruence des racines primitives dont les diverses puis- 

 sances donnent pour résidu, suivant le module q, toutes les autres racines. 

 Prenant l'une d'elles pour base, on peut distribuer toutes les racines en 

 sept classes, en rangeant dans une même classe [i) celles dont les indices 

 divisés par 7 donnent le même reste /. Toutes ces racines sont comprises 

 dans la formule/-}- g y/— 7 et vérifient la condition/^ + 7g^L-i^i (mod. q). 

 Soit X =y -t- g V — 7 la racine primitive choisie comme base d'un système 

 d'indices et posons X^'s^p (mod. q). La fonction 4'(/5) étant toujours le 

 rapport défini précédemment, Hi^~*) ^^* une racine delà congruence 

 x'"'' — I iEs o (mod. q}. Désignons par / son indice et par (/) le reste de la 

 division de cet indice par 7; (y) sera la classe du rapport i}(/3) relative- 

 ment au nombre 9 et à la base X. La réciprocité de septième ordre qui existe 

 entre les deux nombres premiers p el q est exprimée par l'égalité (y) = (/), 

 c'est-à-dire : 



)) Théorème III. — Si l'on désigne par "k la racine primitive choisie comme 

 base d'un système d'indices pour la congruence x""^' — i sh o ( mod. ^), et qu'on 

 pose x''' ^^ /3 (mod. q)^ ']^[^j~^) est une racine de la congruence x""'' — i ;s o 

 (mod.q) cl appartient à une classe dont l'indice est le même que celui de la 

 classe à laquelle appartient le nombre q relativement au module p et à la base t. 



y, Si l'on fait (/) — (o), on obtient le ihéorème suivant : 



)) Théorème IV. —Le nombre q est résidu de septième jiuissance ou non 



C.R., 1875, t" Semescrc. (T. LXXX, W' 12.) 'O^ 



