( 814 ) 

 résidu, relativement au module p, suivant que l'expression (j^dS) (mod.ç) est 

 elle-même résidu ou non résidu de septième puissance pour le module q. 



» Le caractère de septième ordre du nombre 2 est exprimé par le théo- 

 rème suivant 



» Théorème V. — Les coefficients du polynôme R, j = ip (js) sont tous pairs 

 à l'exception d'un seul. Soit a^ le coefficient impair; la classe (ï) à laquelle ap- 

 partient le nombre 2 relativement au nombre p sera déterminée par la con- 

 gruence r^3e (mod. 7). 



» On conclut de là que le nombre 2 est résidu ou non résidu de septième 

 puissance, relativement au nombre premier p, suivant que dans le facteur 

 complexe (j) (^), défini plus haut, le coefficient (7o est impair ou pair. On 

 trouvera aussi les nombres premiers 'jzs -h \ , dont 2 est résidu de septième 

 puissance, en posant 



et en cherchant ceux des produits 'p{p)<p[f>''') qui se réduisent à des 

 nombres premiers. 



» Du reste, ce théorème n'est qu'un cas particulier d'un théorème plus 

 général, où 7 est remplacé par un nombre premier impair quelconque 7i, et 

 où p désigne un nombre premier dont la division par n donne i pour reste. 

 Les nombres entiers non multiples de p peuvent se distribuer en n classes, 

 par rapport à une racine primitive t de p ; on rapporte à une même classe (/) 

 tous ceux dont les indices divisés par ti laissent le même reste /. Si l'on 

 désigne par p une racine primitive de l'équation jo"— 1 — o, et qu'on 

 pose 



H— I 



5 = 1 



les coefficients «„,«,, fio,..., «„_, seront tous pairs à l'exception d'un seul. 

 Soit «e le coefficient impair. La classe (/) à laquelle appartient le nombre 2, 

 relativement au nombre /j et à la base i, est déterminée par la congruence 



/hes e(mod.7i). 



» Le caractère de septième ordre du nombre 3 est vraiment remarquable 

 par sa simplicité; il se déduit de la seule considération des coefficients de 

 notie fonction R,, ,. 



» Théorème VI. - Soil [i) la classe à laquelle appai lient le nombre 3 parmi 



