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ANALYSE. — Recherches sur les covarinnls. Noie de M. C. Jokdan, 

 présentée par M. Chasles. 



(Renvoi à la Section de Géométrie.) 



« Parmi les diverses méthodes employées dans la théorie des invariants, 

 l'une des plus fécondes est sans aucun doute la représentation symbolique 

 introduite dès l'origine par M. Cayley, et adoptée depuis, sous une nota- 

 tion différente, par les géomètres allemands. Nous allons la rappeler briè- 

 vement. 



» Posons, pour abréger, a, x, 4-^2X2 = a^., a, h^ — «2^1 = ('^^)' ^* 

 considérons un système de foiuies Innanea A, i!, C,... ayant respective- 

 ment pour ordres a, /3, y,... M. Clebsch a montré que tout covariant de 

 ce système de fonctions peut être représenté par une somme de termes de 

 la forme 

 (1) K {ab/" {ac)" {Iw ^..rt:7/c',,..., 



où K est une constante, et a, h, c,... des symboles dont chacun corres- 

 pond à l'une des formes A, B, C,..., et 6gure dans l'expression (i) autant 

 de fois qu'il y a d'unités dans l'oi dre de cette forme. 



M Pour faire le calcul du covariant représenté par l'expression (i), on 

 effectuera les multiplications indiquées. Cela fait, supposons, pour fixer les 

 idées, que le symbole a corresponde à la forme A. L'expression (i) sera ho- 

 mogène et d'ordre a en ci,, a.,; on v remplacera a°;, fl° '«,,..., par les coef- 

 ficients Aq, a,,... de la forme A. On opérera de même pour les autres sym- 

 boles h, c Le covariant ainsi obtenu aura son degré, par rapport aux 



coefficients, égal au nombre des symboles r?, ^'; c,..., et son ordre par rap- 

 port aux variables sera r -}- s -h t -+- 



)) Chacune des formop A, B, C,... pouvant être représentée dans l'expres- 

 sion (i) par un nombre quelconque de symboles, les covariants sont en 

 nombre infini. Mais M. P. Gordan a démontré que tous peuvent s'expri- 

 mer en fonction entière d'un nombre limité de covariants indépendants. Son 

 analyse peut être résumée comme il suit : 



» i" Si le théorème est vrai pour deux systèmes de formes A, B, G,..» 

 et A', B',..., considérés isolément, il sera vrai pour le système A, B, G,..., 

 A', B',... ; car les covariants de ce nouveau système résultent des combi- 

 naisons (Uherschiebinujcii) des covariants de ces systèmes partiels, et celles 

 de ces combinaisons qui fournissent des covariants non décomposables en 

 covariants plus simples sont en nombre limité. 



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