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» Il suffit donc (l'établir le théorème pour une forme unique A. 



» 2° Or il est évident si A est linéaire. 



» 3° D'autre part, supposons le théorème vrai pour les formes de de- 

 gré a — I, il sera vrai pour celles d'ordre a. Eu effet, les covariants d'une 

 forme A d'ordre a résultent des combinaisons de deux sortes particulières 

 de covariants : 



>) Les uns, W, dans l'expression symbolique desquels ne figure aucun 



déterminant avec un exposant supérieure -• 



» Les autres, M, dans lesquels chaque symbole figure dans un détermi- 

 nant affecté d'un exposant > -• 



» Mais on déduit de l'hypothèse admise que les covariants irréductibles 

 de l'espèce W sont en nombre limité; de même pour ceux de l'espèce M, 

 et l'on en conclut que leurs combinaisons ne fourniront qu'un nombre li- 

 mité de covariants irréductibles. 



» Quelque ingénieuse que soit celle démonstration, quelque fondamen- 

 tal que soit le résulat obtenu, il reste encore beaucoup à faire pour com- 

 pléter cette théorie. Bien que l'existence d une limite soit établie, il serait 

 assez difficile de lui assigner une valeur, même très-éloignée de la réalité. 

 A plus forte raison est-il nécessaire de recourir à des considérations nou- 

 velles pour établir un système de covariants irréductibles débarrassé de 

 formes superflues. Ce travail a été exécuté par M. Gordan pour les formes 

 du sixième degré; mais au delà la complication devient très-grande. 



» Ces difficultés sont dues à la grande variété de formes symboliques 

 différentes que peut revêfii- un covariant. On a, en effet, l'identité 



(2) ((jl')c,r + {bc)a^ + {ca)h_i. = o, 



au moyen de laquelle ou peut transformer rexiyesbion (1) de bien des 

 manières différentes. Eu outre, si plusieurs symboles correspondent à une 

 même forme A, on pourra les permuter entre eux sans rien changer au 

 résultat. 



» Nous avons entrepris récemment l'étude de ces transformations. Bien 

 que ces recherches ne soient pas terminées, nous pouvons déjà énoncer 

 quelques-uns des résultats auxquels elles nous ont conduits. 



» Lemme. — Soieiït A, B, C trois formes dont les degrés or, /3, y soient au 

 moins égaux an; n^ b, c Us symboles de ces trois formes. Les divers covariants 

 rcjjrr^riilt's par rcxi>ression 



{abY[bc]'[ca)"~ v-^ a^-"^" [>{-'- " c\ 





