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 tion (3), a, valeurs pour x, et par suite, en vertu de l'équalioii (4), 

 a, jSj valeurs correspondantes pour jOj; de même, si l'on attribue à p^ une 

 valeur particulière, il en résulte, à cause de l'équation (4), «2 valeurs 

 pour X, et par suite, en vertu de l'équation (3), «2(3) valeurs correspon- 

 dantes pour p,. Si donc on convient de porter sur une droite A des lon- 

 gueurs égales aux valeurs de p,, p^, on obtiendra deux séries de points 

 correspondants. Il est d'ailleurs évident que le nombre N des coïncidences, 

 situées à distance finie, marque le nombre des solutions finies du système 

 proposé par rapport à jr. La question que nous avions en vue est donc 

 ramenée, en vertu du principe de correspondance analytique, à trouver le 



nombre des solutions finies du rapport — pour p^ infini, et le nombre des 



pi 



solutions du rapport — pour p, infini. Il est manifeste que, si l'on sait cher- 



cher les diverses solutions du rapport — pour p.-, infini, la même marche 

 conduira à la détermination des diverses solutions que présente le rap- 

 port — pour p, infini. Proposons-nous donc de déterminer : i° le nombre 



des valeurs finies non nulles du rapport — pour p, infini; 2° le nombre 

 des valeurs nidles de ce rapport; 3° le nombre des valeurs infinies de ce 

 même rapport. Pour cela posons — = p', — = x', il vient 



P^ p3 



(5) ?,[(a:'p2rs(p.p')P'] = o, 



(6) çp2[(-^>2)%P^J = o. 



» Remarquons que, lorsque po a une valeur arbitraire finie, l'équation (6) 

 donnant a, valeurs pour x', il en résulte, à cause de l'équation (5), qu'il 

 y a en général aj^, valeurs finies correspondantes du rapport p . La ques- 

 tion est donc de savoir ce que deviennent ces «o/^i valeurs pour p„ infini, 

 c'est-à-dire de trouver : i° le nombre de ces valeurs qui deviennent finies 

 non nulles; 2° le nombre de ces valeurs qui deviennent nulles; 3° le nombre 

 de ces valeurs qui deviennent infinies. D'un autre côté, puisqu'on connaît 

 la composition de l'équation (5), il est évident qu'il suffit pour cela de 

 connaître les ordres d'infiniment grands des diverses valeurs de x' qui 

 deviennent infinies pour p, infini. Ainsi, comme il ne peut évidemment 



jamais arriver que, parmi les diverses valeurs de — pour pj infini, il y en 



ait d'égales à l'unité, puisque, par hypothèse, les courbes représentées par 



